Question

＼＼\\٩( 'ω' )و //／／

カ、キについてなぜ青の波線の部分がそうなるのか教えて下さい‼︎

〔1〕 aを正の実数とする。 Oを原点とする座標平面上に2点A(2,0),B(4,0)
と直線l: y = ax があり、直線上に動点Pをとる。
太郎さんと花子さんは,線分 AP と線分BP の長さの和が最小となるとき
の点Pの座標について話している。
I
1
I
I
1
I
1
1
1
I
I
1
太郎:Pの座標を(t, at) とおいて, AP + BP を tを用いて表すと式が複
雑すぎて, 最小値を求めるのは大変そうだね。
花子: それじゃ, 幾何を利用して考えたらどうだろう。 点Bをlに関し
て対称移動した点をCとすると, は線分BC の垂直二等分線だ
から, BP = CP となるよね。 だから AP + CP が最小になるよう
な点Pが求めるべき点になるよ。
太郎: ということは, AP + BP が最小になるような点Pは3点A,P,
Cが一直線上にあるとき, すなわちと直線ACの交点Qのとき
だね｡
花子 : 求め方はわかったけれど, 点 C や Q の座標を求めるのにはどうし
たらいいのかな。
太郎:Cの座標を(p, g) とおいて, p, g の連立方程式を立ててみよう。
花子 : ∠POB=0とおき, tan0を用いて点Cの座標を求めることもで
きるね。

(P+4, 2)
(1) 点Bをℓに関して対称移動した点をCとする。
(i) Cの座標を(p,q) とおくと, l⊥BCであることから
a
p²4q² = 4
P²-9²-16
が成り立ち, 線分BCの中点が上にあることから
が成り立つ。
ア
ア
(P+4)
2
ap+4a-9:0である。
イ
,
01
⑧
= 0
p+aq +4
p-ag-4
6 ap- q + 4a
= 0
(ii) ∠POB = 0 とおくと, tan0 =
cos 0 = エ,5sine =
イ
4 √1 + a²
キ
1 + a²
(i) または (ii) より, 点Cの座標は
9-0
P-4
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) |
①① p+ag-4
ap + q + 4a
ap-g-4a
① a
ウ
1
√1 + a²
8a
1 + a²
さらに, OBOC, ∠BOC = 20 であることから, Cの座標を求めるこ
とができる。
(5)
であり
*6 41+0²
50
0 4
Sita²
カ
a
(PM) of
p -aq +4
ap + q - 4a
の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい｡)
a
P P-4
40
B
a
√1 + a²
4(1-a²)
1 + a²
キ である。
[③
⑦
⑥
diy=ax
a=-1
aq=-P+4
aq +P-4 = 0
A (2.0)
1
1 + a²
16+160²2-x
/1 + a²
a
1 + a²
4(1-a²)
B(40)
x
X-√√16 +16a²
= √/6(1+a²)
=4√i+a²

OC = OB=4, ∠COB = 20 より, Cのx座標は
1
4 cos 20=4(cos²0-sin²0)=4
a²
l+a² 1+a²
4(1-a²)
1+a²
Cのy座標は
4 sin 20 8 sin cos 0=8.
8a
= 1 + a²
よって, Cの座標は
(4(1-a²)
C
1+a²
9
8a
2
1+a²
a
1
√1+a² √1+a²
(@, 9)
A HOB

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

y.takano

いったんそこまでのことを忘れて下図を見てみてください
x = 4 cos2θ　（cos2θ＝x/4)
y = 4 sin2θ　（cos2θ=y/4）
定義通りです

（問題中に説明があるように、BOPとCOPが線対称なので
OCの長さはOBの長さ4と等しく、O周りの角θも等しいので∠COBはあわせて2θです）
あとは2倍角の公式に(ⅱ)で出たsinθとcosθを入れるだけですね

＼＼\\٩( 'ω' )و //／／

でも、直線lの傾きが0でない限り角OBCは90度にならないと思うのですが…

y.takano

もうOCの長さは4、x軸となす角は2θとわかりましたので、Cの座標を求める上であとはBは関係ありません。
原点Oからx軸となす角2θで長さ4の線を引いた先がCです。Cの座標は？という問題になっています。
わかりやすく数字を入れると、原点からx軸となす角60度で長さ6の線を引きその先端をPとしたときPの座標(x,y)を求めよ。と言われたら
x = 6cos60°= 3
y = 6sin60°= 3√3ですよね。

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言われてみれば確かにそうですね‼︎ありがとうございます！！