Question

ねこ

「逆に…を省略してもよい」と書いてありますが、この問題の場合省略してもいいのでしょうか？また、どのようなときに省略してもいいのか具体的に教えて欲しいです！

2点A(4,0),B(0,2) に対して、次の条件を満たす点Pの軌跡を求め
よ。
(1) AP2-BP²=2
(2) AP2+BP2=12
ガイド点Pの座標を(x,y) とおいて,点Pについての条件をx,yの式で
表し, 図形の方程式を求める。
解答 (1) 点Pの座標を(x,y) とする。
AP2-BP2=2 であるから,
{(x-4)2+y^}_{x²+(y-2)^}=2....①
整理すると
4x-2y-5=0
･②
よって, 点Pは直線 4x-2y-50 上にある。
逆に,直線 4x-2y-50 上の任意の点Pは、 ②を満たすから
①を満たす。
よって, 条件 AP2-BP2=2 を満たす。
以上より, 点Pの軌跡は、直線 4x-2y-5=0 である。
(2) 点Pの座標を(x, y) とする。
AP2+BP2=12 であるから,
{(x-4)²+y^}+{x2+(y-2)2}=12 ...... ③
整理すると,
x2+y²-4x-2y+4=0
(x-2)^+(y-1)²=1 ......④
よって, 点Pは円 (x-2)^2+(y-1)2=1 上にある。
逆に,円 (x-2)2+(y-1)2=1 上の任意の点Pは,④を満たす
から③を満たす。
よって, 条件 AP2+BP2=12 を満たす。
以上より,点Pの軌跡は,円 (x-2)²+(y-1)²=1 である。
[参考手順を逆にたどると成り立つことが明らかなときは, 「逆に,•••••
を省略してもよい。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

>どのようなときに省略してもいいのか具体的に教えて欲しいです！

書いてある通り、手順を逆にたどれば
与えられた条件に変形できるときです
毎回確認するしかありません

結局のところ、上から下に変形する際に
一方通行な変形があれば、逆向きにはたどれないですね
一方通行でない変形（つまり同値変形、必要十分な変形）
を心がければ、自ずと逆も成り立ちますね

> この問題の場合省略してもいいのでしょうか？

実際逆にたどれれば省略できます
Pがこの円上に乗っているとき④が成り立つ
④を変形して③がつくれる
③からもとのAP²+BP²=12がつくれる
逆にもたどれることは明らかなので省略できます

ただ一般に「明らか」なことは人によります
少なくとも、こちらが明らかと感じても
採点者にとって明らかでなければ×になるわけで、
省略しないほうがいいです