Question

Hi（受験生）

70.
AQ:QD=AE:EC=1:1より
点Qは線分ADの中点であるとはどういうことですか？
Aから引く直線BCと接する線分はどれも
A◯:◯D =AE:ECになるのでは？と思ったのですが
（写真2枚目のように）

E
E
基本例題10 重心であることの証明
△ABCの辺BC, CA, ABの中点をそれぞれD, E, F とし,線分 FEのEを越
える延長上にFE = EP となるような点Pをとる。 このとき, Eは△ADPの重
心であることを証明せよ。
結論からお迎えの方針で考える。
指針
例えば、右の図で,点G が △PQR の重心であることを示すには,
QS=RS (Sが辺 QR の中点), PG:GS =2:1
となることをいえばよい。
この問題でも, 点E が ADPの中線上にあり, 中線を2:1に内分す
ることを示す。
S
平行な線分がいくつか出てくるから,平行線と線分の比の性質や中点連結定理 を利用。
CHART 重心と中線 2:1の比辺の中点の活用
解答
△ABC と線分 FE において, 中点連結
定理により
=1/BC
2
FE//BC, FE=
OHITHJAUS 280
ADとFE の交点を Q とすると
QE//DC
B
また,FEEP であるから
0
F
① ② から、点Eは△ADP の重心である。
A
Q/ E
D
よって AQ:QD=AE:EC=1:1
ゆえに,点Qは線分 AD の中点である。
よって, ADC と線分QE において, 中点連結定理により
=1/12DC=1/12×1/2/BC=1/2BC
C
・P
PE:EQ=FE:EQ=1/2BC://BC=2:1…. ②
検討 重心の物理的な意味
|密度が均一な三角形状の板の重心Gに,糸をつけてぶら下げると,
板は地面に水平につり合う。
基本69
HAA
<DC=1/2/BC
問題の条件。
G
<中点連結定理
中点2つで平行と半分
平行線と線分の比の性質。
R
G
411
3章
0 三角形の辺の比、五心
10
る。

くるから,平行線と線分の比の性質や中点連結定理
2:1の比辺の中点の活用
, 中点連結
12/2/BC
ると
I
FM
B ID
A
E
1
EC=1:1
中点である。
において,中点連結定理により
×1/2/BC=1/2BC
P
AH÷HI ² = AE · E/C
EQ-1/12 BC: 1/BC=2:1②
4
Pの重心である。
<中点連結定理
中点2つで平行と
平行線と線分の上
|DC= =1/1/2BC
問題の条件。

Answer 1

mo1

参考・概略です

＞Aから引く直線BCと交わる直線についてはどれも
＞A◯:◯D =AE:ECになるのでは？と思ったのですが
（写真2枚目のように）

●仰る通り，ＡＨ：ＥＤ＝ＡＱ：ＱＤ＝ＡＥ：ＥＣ　となるので

＞AQ:QD=AE:EC=1:1より
＞点Qは線分ADの中点であるとはどういうことですか？

●解説では以下のように「理屈をつけて」述べているのだと思います

―――――――――――――――――――――――――
●解答の５行目にあるように，ＱＥ//ＤＣで

●平行線と線分の比の性質から，ＡＱ：ＱＤ＝ＡＥ：ＥＣ

●問題文より「ＥはＡＣの中点」で，ＡＥ：ＥＣ

●以上から，ＡＱ：ＱＤ＝ＡＥ：ＥＣ＝1：1

●ＡＱ：ＱＤ＝1：1　から，ＱはＡＤの中点

という流れになっているようです