Question

あ

(2)θが2個解を持つための条件にg（1）≠0とあったのですがどういうことですか？

12
を実数の定数として
f(0) = 1/cos
2
cos 20+2k sin 0+
k 7
3 6
とおく。 このとき次の問いに答えよ。
□(1)
sin0 とおくとき, f(0) をxで表した式をg(x) とする。 g(x) を求めよ。
(2) 0 についての方程式f(0)=000の範囲に異なる2つの実数解をもつような
kの値の範囲を求めよ。 立

ガチロル
対応
ブラン
難関
国公立
難関
私大
②2 三角関数を含む方程式の実数解の個数
解答の指針
(1)
三角関数を含む0についての方程式が, 00の範囲に異なる2つの実数解をもつ条件
を求める問題だ。 (1) で, x = sin という置き換えの方法が指示されていて, f(0) をxの式
で表すことがヒントとして与えられている。
POINT
YA
と0の対応関係を調べ2次方程式の解の条件に読みかえる
(2)で,「f(0)=0 が0<0 の範囲に異なる2つの実数解をもつ」
ことを安易に「g(x)=0) が異なる2つの実数解をもつ」と考えるの
は誤りである。 置き換えをしたときには、と0の対応関係, すな
わち、どんな値のxに対して,0<0 の範囲の0が何個定まる
のかという関係を調べなければならない。 このことを調べるには,
単位円もしくはx = sin0 のグラフを使う。 右の図の単位円を使って考えると, (ア) 0<x<1
のとき, x=sin0で定まる0(0<0<x)は2個 (図のα, β)であることがわかる。
POINT
解答 間違えた原因やどうすれば解けたかを考えながら読もう。 も参考にしよう!
Check
2次方程式の解の配置問題を2次関数のグラフの条件に読みかえる
と0の対応関係から、求める条件を2次方程式g(x)=0 の解の条件に読みかえたら、 次
は 2次関数 y=g(x)のグラフの条件に読みかえて、kの値の範囲を求めればよい。
f(0)= 1/12/cos
=1/(1-
x = sin 0 とおくと.
g(x)=-
*cos20+2ksin0+
=(1-2x²)+2kx+
(1-2 sin²0)+2ksin 0+
=-x'+2kr+ + 7 / 7 (k-
(k-2)
よって, g(x)=-x2+2kx+
3
k 7
3 6
(ア) 0<x<1のとき
(イ) x=1のとき
0
7
k 7
3 6
(k2) (答)
(2) = sin0 のとき,xと0(0< 0 <²) は次のように対応する。
BC
1つのxに対して2つの0が定まる
1つのx(=1) に対して1つの0(=△)
が定まる
(ウ) x≦0.1<xのとき 0 は存在しない,
YA
-(1)
X
A
A UNT
O
2倍角の公式
cos 2a = cos²a-sin'a
E3 On
C EXCO K
=1-2sin'α
=2cos²α-1
POINT 1
と0の対応関係を調べ
2次方程式の解の条件に
読みかえる
Halot
0
X
との対応関係を調べるに
は, 解答のように単位円を用
いてもよいし, Ⅰ sin 0 のグ
ラフを利用してもよい。
a
A
2
sing
(ウ)
(イ)
(7)
(ウ)
したがって,「f(0)=0 が00²の範囲に異なる2つの実数
「解をもつ」という条件は、 「g(x)=0が0<x<1の範囲にただ1つ
の実数解をもつ」かつ 「g(1) 0 ...... (*)
ことと同じである。
xとの対応関係を調べ2次方程式の解の条件に読みかえることができたか
このことはグラフの条件で考えると. 2次関数 y=g(x)のグラフ
が0<x<1の範囲でx軸とただ1つの共有点をもち,
かつg(1)≠0 ということである。 D
この条件 (ただし, 接する場合は除く)は
g(0)g(1) < 0 または 9 (0) = 0 で 9 (1) < 0 かつ軸が正 目
のときに成り立つ。
g(0)g(1) < 0 すなわち,
1905
17
1/13 (k-2). (-1+2k+/-/23) <0
(k-2)(7k-5) <0
<k <2
(0)=0g(1) < 0 かつ軸が正のとき.g(0)=0はん=2となり.
9 (1) <0はん となるため不適。
さらに,y=g(x) のグラフがx軸と接する. すなわち,g(x) = 0
が重解をもつ場合について調べる。 F
-x²+2kx+-
+1/13(k-2)=0の判別式をDとすると.
k² + (k-2)=
3k²+k-2=0
4
D POINT 2
2
k=
2次方程式の解の配置問
題を2次関数のグラフの
条件に読みかえる
目 g(0) g(1) の符号が異なれ
ば 2次関数y=g(x)のグラ
フは、0<x<1の範囲で必ずェ
軸とただ1つの共有点をもつ。
k=-1,
g(x)=0 の重解は, x=kなので､その解が0<x<1の範囲にあ
るのは,k=12/23 のときである。G
以上より
求めるkの値の範囲は、
･<k< 2 …(答)
CHECK 2次方程式の解の条件を2次関数のグラフの条件に読みかえることができたか
g(0)=0.g(1) < 0, 軸が正の
場合もただ1つの共通点をもつ
が不適。
YA
O
I
落とし穴
「g(x)=0 が0<x<1の範囲
ただ1つの実数解をもつ」
条件には、重解の場合も含ま
れる。そこで、重解の場合は
別に調べてその解が0<x<1
の範囲にある場合は, 答えと
しなければならない。
g(x)=0 の重解は, 解の公
より、
-2k± √D
-2
=k