10/1
105を2以上の自然数とする。1個のさいころを続けてn回投げる試行を行い。
******
「出た目を順にX1, X2, ·······, Xn とする。
(1) X2, X2, ......, X の最大公約数が3となる確率をnの式で表せ。 ☆ももんちきでなり
***
ok
(2) X1, X2, ......, Xn の最大公約数が1となる確率をnの式で表せ。
(3) X1, X2, ......, Xn の最小公倍数が20となる確率をnの式で表せ。
[20 北海道大]
105 〃回の目の出方は全部で6通りあり、これらは同様に確から、
(1) d=3となるのは, X1, Xs ·....., X, がすべて 3. 6 のいずれか
しい。 X1 X2, ......, X の最大公約数をdとする。
であり、かつ、 X'11 X21 ......, X, のうち少なくとも1つは3のとき
である。
よって、 d=3となるような組 ( 1 2, ....2, n)の総数は (2'-1)
2"-1
通りであり、求める確率は
6"
(2) X1, Xs,.....', X, はすべて 1以上6以下の整数であるから d..
は1以上6以下の整数である。
d=3となるような組(X1X21 ·······, X.) の総数は、(1)から
2-1(通り)
d=5となるのは, Xi, X2, ······, X, がすべて5のときで、そのよ
うな組 (X1, X2, ….…... Xm) の総数は
d=2またはd=4またはd=6となるのは, Xu, X2, ....….., X, が
すべて偶数のときで、そのような組(X1, X2, .…..….., X.) の総数は
3通り
ゆえに, d,=1 となるような組 (X1, X2, ......, X,) の総数は
6"_2"-1+1+3")=6"-3"-2" (通り)
よって 求める確率は
6"-3"-2"
6"
(3) 2022×5 から X1, X2, ........ X の最小公倍数が20となるのは,
X', X2, ....., X, がすべて 1, 2,4,5のいずれかであり,かつXい
X2, ......., X, のうち少なくとも1つは4 で, かつX1, X2, ・・・･・
X, のうち少なくとも1つは5のときである。
X1,2,......., X, がすべて 1, 2,
4,5 のいずれかであるような組
1. X2, ......, Xm) の総数は
4通り
これらの4通りの組のうち、4を
1つも含まないような組は3通り、
5を1つも含まないような組は
よって 求める確率は
すべてが 1 2,4,5のいずれか
5を1つも
含まない
4を1つも
含まない
4および5を1つも含まない。
3" 通り, 4および5を1つも含まないような組は2通りある。
ゆえに, X', X2, ······, X" の最小公倍数が20となるような組
(X1, X2, ......, Xm) の総数は
4"-(3"+3"-2")=4"-2.3"+2" (通り)
解答編
[key] d がそれぞれの値をとる
場合について, さいころの目の出
方を考える。
4"-2.3"+2"
6"
[Support] すべて6となる場合は
4,6となる。
[Support すべてとなる場合は
d=4となる。 4と6のみが少な
くとも1回以上ずつ出る場合は、
d=2となる。
key Xs, X2, ....... X2 はすべ
て20の約数でなければならない
ことに注目する。
丁寧な解説ありがとうございます！全体的によく分からず小問を示していませんでした。すみません💦
理解出来ました！