Question

らむ

(3)の②についてです。
2^nと2^n +1はどうして消えてしまったのでしょうか？

120. 数列{an}を正の
で定める。
a=5,
an+1=2an+3" (n=1,2,3,...)
0
(1) bn=an-3 とおく. bn+1 をb で表せ.
(2) an を求めよ.
(3) an<1010 をみたす最大の正の整数nを求めよ.
ただし, 10g102=0.3010･･･, log103= 0.4771... である.
8 11 数列 39
(一橋大)

bn=an-3" とおくと, an=bn+3".
1²
これと与漸化式から、
(②) (1)より、数列{bn} は,初項 b1=a1-3'=2,公比2の等比数列
^— (x__・・・ _bn=2.2"-12"(=an-3). 1040 1014
Jean=2" +3" (n≥1). J
CAM
すなわ
(3) < 10 1① をみたす最大の正の整数をnとすると
an <1010≦an+1,
よって,
bn+1+3+1=2(6+3") +3".
=:.bn+1=26m (n≧1).
(n≥1). 10
カールのとき)
10 076
2n +3" <10 ¹0 ≤2n+1+3n+1) T
"+3"/1010≦2"'+3 +1.
-
(Ə£T)
+
が成り立つことが必要である.
②の各辺の常用対数を考えて、
-6 より 10g103"<log1010"<logio 2.3 +1. ･･・ && d="
3"<1010/2.31
.. n log₁03<10<log₁⁰0 2+ (n+1) logio 3.
10
log103.01
10
0.4771....
10-10g 10 2
10g103
10-0.3010
0.4771···
-1<n<-
TJ.
-1<n<-
.. 19.3.<n<20.9…...
わち、6.
... n=20. (必要条件)
And
①をみたすnが存在することは, (2)で求めた一般項より明らかだから
これで十分.
... n=20.
「

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

これは「必要である」という言葉が非常に重要です
ゆっくり読んで、よく咀嚼してください

求める条件は2ⁿ+3ⁿ<10¹⁰<2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹……★ですが、
ここから直接nを求めるのは難しいです
なぜなら、指数のnや10を下ろすために
logをとりたいところですが、
左辺や右辺が和になっていて、
logをとっても簡単にならないからです
（log(2ⁿ+3ⁿ)=log2ⁿ+log3ⁿではない）

そこで、いったん★を3ⁿ<10¹⁰<2×3ⁿ⁺¹……②とします
この形ならlogをとることでnを求めにいけるからです

ここで肝心なのが★と②は同値ではないということです
同値なら★⇔②で、②の解nが出れば、
その解は★の解でもあります
しかし、★と②は同値ではありません
②は★の必要条件です
（★⇒②だが、★←②ではない。一方通行である）
よって、②の解が出ても、
その解が★の解かどうか（②から★に戻れるか）を
別途確かめることになります
（これが最後の十分性の確認）

で、本題ですが、★から②になぜいけるかですが、
★の範囲より②の範囲が広いからです
たとえばxが「2<x<3」であるとき「1<x<4」です
（xが2から3の数なら、1から4の数ともいえる）
これと同様にnが★を満たすなら②を満たします

「2<x<3」の左端2より「1<x<4」の左端1の方が小さく
「2<x<3」の右端3より「1<x<4」の右端4の方が大きい
ことに注意してください
「2<x<3」より「1<x<4」のほうが広がっている証拠です

同様に、
★の左端2ⁿ+3ⁿより②の左端2ⁿのほうが小さい、
★の右端2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹より2の右端2×3ⁿ⁺¹のほうが大きい
ことに注意してください

らむ

大変詳しく説明していただきありがとうございます。
よく理解できました。一つ質問があるのですが、写真のように数の一つ一つにlogをとれないのはなぜでしょうか？

和

logにそんな性質がないからです

logMN=logM+logNはあるが
log(M+N)=……はない

公式などを学ぶときは、
できるはずなのになぜできないか、というより
できないことを前提として、
なぜできるかを理解するのが基本かと思います

数学では成り立って当たり前のことは多くないと思います

らむ

わかりました。ありがとうございます！