Question

γ

（3）解説のgcdの二行目の式変形が分からないです

8.6 数列{an} を次の条件によって定める。 8 ・g
a=1, 2=2, an+2=2an+1+a
(n=1, 2, 3, ...)
(1) as, ai, as を求めなさい。
9.)
(2)についての1次不定方程式 〇
ash+αy=1の整数解をすべて求めなさい
(3) すべての自然数nに対して, an と +1 が
互いに素であることを示しなさい。
(17 首都大・文系)

29(x-5)+12(y+12)=0
... 29(x-5)=-12(y+12). ...... ③
③の左辺は 29の倍数であるから,右辺も29の倍数.29
と12は互いに素であるから,y+12=2k(kは整数)
と表せる。このとき, x-5=-12k を得る. 答は
x=-12k+5,y=29k-12 (nは整数).
注整数解を1組 “見つける” 過程を答案に書かな
くても,また,①を③といきなり変形しても、論理的
に問題はない.
(3) 整数a, 6 の最大公約数をgcd(a,b) で表す.
ユークリッドの互除法により,
gcd(an+1, an+2)=gcd (an+1, 2an+1+an)
=gcd(an+1, (2an+1+an) -2×an+1)
=gcd(an+1, an) = gcd (an, an+1)
であるから,すべての自然数nに対して,
gcd (an, an+1)= gcd(a, a2)=gcd(1,2)=1
となり, an と an+1は互いに素であることが示された.
別解 (2) 29x+12y=1は,
5x+12(2x+y)=1
∴.5{x+2(2x+y)}+2(2x+y)=1
より 5(5x+2y) +2(2x+y)=1
(5x+2y)+2{2(5x+2y) + (2x+y)}=1
th (5m 1 2 13(12r+5)=1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

そもそもgcdの性質:
gcd(a,b)
=gcd(a, b-(整数)×a)
があります

たとえば
gcd(26,65)
=gcd(26, 65-2×26)
=gcd(26, 13)
=13
です