Question

飛鳥

ε-δ論法による証明がわかりません。
(1)の波線部の不等式がどこから出てくるのか教えていただきたいです。
ε/2Mというのはどこから出てきたんですか？

基本例題031-8 論法による基本定理の証明
下の指針の定理について, 以下の問いに答えよ。
(1) 下の, 関数の極限の性質の [2], および [3] を,e-8 論法を用いて証明せよ。
(2) 下,合成関数の極限をe-8 論法を用いて証明せよ。
指針定理関数の極限の性質(スロー(x)=(x)ノー
関数 f(x), g(x) および実数 α について, limf(x)=a, limg(x) =β とする。
[1] lim{kf(x) +1g(x)}=ka+1β (k, lは定数)
x→a
x→a
[2] limf(x)g(x)=aB
[the lim (1/(x)
定理 合成関数の極限
4179744571
x→a
x→b
YOU
関数 f(x), g(x) について, limf(x)=b, limg(x)=αとし, g(x)はx=6で連続とする。
このとき,合成関数 (gf) (x) について, lim (gf) (x)=α が成り立つ。会場
x→a
x→a
x→a
x→a
xx→a
[3] lim
x→a
f(x)
a
g(x) B
E-8 論法による証明であるから、 「 e を任意の正の実数とする」から始める。そして,これに
対応するの値を検討する。 次のような方針で証明を進める。
f(x)
(1)
1
1
の極限を求める問題は、f(x) x-
g(x)
として
g(x)
g(x)
る。 関数の値と極限値との差の絶対値を評価し,途中でどのような仮定が必要になるかを考
05.10
える｡
So I had
lot
(2) 合成関数g (f(x)) の値を g (f(a)) に近づけるには,gの中にある f(x) をどの範囲で
x→a
==
(ただし,β≠0)
eを任意の正の実数とする。
limf(x) =α であるから, ある正の実数品。 が存在して,
()+6011-5
0<|x-a|<品。 であるすべてのxについて|f(x)-α|<s が
f(a) に近づければよいかを考え,それに応じてxをどの範囲でαに近づけるか考える。
1o C
(+18
解答 (1) 性質 [2] の証明
成り立つ。このとき,α-e<f(x)<α+ であるから
|f(x)|≦max{|a-el, |a+c|}
S3A/
ここで,M=max{|α-el, |α+el, |β|} とおく。
e≠0 より |a-el, late | の少なくとも一方は0でない
から
M>0
limf(x) =α であるから,ある正の実数 Ô が存在して
E
0<|x-a|<ふであるすべてのxについて|f(x)-al<
AMICIAS
が成り立つ。
limg(x) =βであるから、 ある正の実数 82 が存在して
1
B
を示す問題に帰着させ
e-8 論法による証明の
開始。
Jel
4

0<|x-al<d であるすべてのxについて
|g(x)-B|<2M が成り立つ。
8=min{8, 81,82} とおくと,0<|x-α|<8のとき
よって
性質 [3] の証明
|ƒ(x)g(x)—aß|=\ƒf(x)g(x)=f(x)B+f(x)B-aß\
≤ f(x) g(x)-f(x)B|+|f(x)B-aß|
x→a
limf(x)g(x)=aß
x→a
上で示した性質 [2] により, lim
x→a
=\f(x)||g(x)-B|+|ƒ(x)—a||B|
x→a
E
E
<Mi- + ・・M=ε
2M 2M
|B|
|g(x)-Bl<- が成り立つ。
2
を任意の正の実数とする。)(\mit
limg(x) =βであるから、 ある正の実数品。 が存在して,
よって
0<|x-a|<品であるすべてのxについて
1
1
g(x) B
IBISHAL JUS
このとき,g(x)|> ->0 であるから
2
1 1
B
x→a
g(x)
limg(x) =βであるから,ある正の実数 Ô が存在して,
\BE 2
2
lim-1=1
g(x) B
=
0<|x-a|<d であるすべてのxについて
| B|²E
|g(x)-B\<_ が成り立つ。
2
δ=min{d, ôｭ} とおくと, 0<|x-α| <8のとき
B-g(x)
lg(x) - Bl
8-0(08) |-- 109 (0) 1781
·.
1
|B| |B||
を示せばよい。
140-2
<
|g(x)|¯|B|
=E
f(x)
したがって
g(x)
(2) を任意の正の実数とする。
limg(x)=α であるから,ある正の実数 Ô が存在して,
lim -=limf(x) lim 1 a
x→a
x→a
x→a
g(x)
B
TEOR
-
x→b
0<|x-b|<8であるすべてのxについて|g(x) -α|<e が
成り立つ。
このときx-a|<品 か
つ|x-aki かつ
|x-a|<品となってい
る。
e-8 論法による証明の
開始。
三角不等式より
|B|-|g(x)|
<g(x)-BK-2
IBI
1
このとき |x-α|<80
かつ | x-a|<i
x=(x)\ mil
e-8 論法による証明の
開始。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Take

飛鳥さま

解説してみました。
参考になれば幸いです。

解析学 イプシロン•デルタ論法

飛鳥

丁寧な解説ありがとうございます。
最終的に作りたい形から逆算した結果なんですね！