Question

ほの

(2)(3)で質問があります。

(2)の解説の二重線部は何を表しているのでしょうか。
a+b=0になっても
b-a^3+a=0になっても右辺は0になると思うので、
移項したb= a^3-aが表せないとなっているのがどういうことかわかりません。

(3)の傾きは二重線部を微分して出すのかと思ったのですが、
二重線部が傾きとして表されているのがなぜかわかりません。

よろしくお願いします

95 接線の本数
曲線 C:y=x-x 上の点を T (t, t-t) とする.
O
(1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ.
✓ (2)
(2) 点A(a,b) を通る接線が2本あるとき, α, bのみたす関係式
を求めよ。 ただし, a > 0, b = α-α とする.
(3) (2)のとき、2本の接線が直交するようなα, b の値を求めよ.
(2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は、 接点の個数と一致し
ます. だから, (1) の接線にA(a,b) を代入してできるtの3次方
程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの
考え方は 94 注で学習済みです.
(3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します.
1つは(2)で求めてあるので,あと1つですが,それが 「接線が直交する｣
を式にしたものです. 接線の傾きは接点における微分係数 (83) ですから,
2つの接点における微分係数の積= -1 と考えて式を作ります.
|精講
解答
(1) f(x)=x-x とおくと,f'(x)=3x²-1
よって, Tにおける接線は,
y-(t³-t)=(3t²-1)(x-t)
.. y=(3t²-1)x-2t³
(2) (1) の接線は A(α, b) を通るので
b=(3t²−1)a-23
(0)
... 2t3-3at2+a+b=0 ...... (*)
(*)が異なる2つの実数解をもつので,
g(t)=2t3-3at'+α+ 6 とおくとき,
y=g(t) のグラフが,極大値、極小値をもち,
( 極大値)×(極小値)=0 であればよい.
94 注
g'(t)=6t-6at=6t(t-a)
g'(t)=0 を解くと, t = 0, t=α だから
185
y=x²-x|
A (a,b),
(t,t³-t)

a≠0
g(0)g(a)=0
参考
ポイント
b=a²-a, a>0 だから, a +6= 0
(3) (2)のとき(*) より, t2(2t-3a)=0
2本の接線の傾きはf'(0), F (32) だから,直交する条件より
3a
8
27
3a
ƒ'(0)ƒ'(³a)=−1
2
a²=-
2√6
9
a>0 より, a=-
a=0
(a+b)(b-a³+a)=0
9
b=
∴.
-
2√ 6
9
9 151
● a≠0 は極値をもつ
ための条件
27
(-1/²-1)=-1
3次関数のグラフに引ける接線の本数は
接点の個数と一致する
・斜線部分と変曲点からは1本引ける
・Cとl上の点(変曲点を除く)からは2本引ける
・青アミ部分からは3本引ける
実は、3次関数のグラフに引ける接線の本数は以下のようになるこ
とがわかっています. 記述式問題の検算用やマーク式問題で有効で
す。
3次曲線Cの変曲点 (88) における接線をひと
するとき
2015 2
N

微分 積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

冒昧

(2)b≠a^3-aは問題文中にそう書かれています。これはつまり、曲線上の点でない ということですね。

(3)(*)は点Aを通るようなy=f(x)の点Tにおける接線の存在条件を表しています。(*)を満たすような(t,f(t))を接点とする接線について(3)では考えるので、二重傍線部が導かれます。
接線の傾きは接点における微分係数でしたね。したがってそのような式になります。

ほの

(2)本当にすみません！見落としていました！！

(3)理解できました！丁寧にありがとうございました！