Question

あ

(2)（i）なのですが、なぜaの範囲が0を含まないのか分かりません。解答の分からないところに赤く線引っ張ってます。

関数 y=
2x
2
x2+4
の増減を調べ, 極値を求めよ。 また,この関数のグラフの概形を
209²
かけ.
(2) αを実数とし, 関数f(x), g(x) を
(22+4)²
f(x)=10g(x2+4), g(x) = ax-f(x)
により定める.
関数 g(x) は極大値と極小値を1つずつもつとする.
(i) α のとり得る値の範囲を求めよ.
LTE AVER
8

となる。
2
->0より、y'の符号は (2+x) (2-x)
(x2+4) 2
の符号と一致する。 これよりyの増減表をつくり,
極値を求めればよい.
さらに,y=
である。
2x
x2+4
を用いて,
のグラフCの概形は,
lim y = lim
8418
に注意してかけばよい.
(2)(i) g(x) が極大値と極小値を1つずつもつ条件
は、
である.
①より
「g'(x) の符号が正から負に変化する
こと, および, 負から正に変化する
ことが1回ずつ起こること
J
a>
2
f(x)=10g(x2+4) の導関数は,合成関数の微
分法と対数関数の導関数で得られる公式
a <
-=0
4
x
∞
x+.
微分可能な関数f(x) (0) に対して,
f'(x)
{logf(x)}=
f(x)
f'(x)=
_ (x² + 4) = 2x
x2+4
x2+4
となるから,g(x)=ax-f(x) の導関数は,
2x
g'(x)=a-f'(x)=a-
x2+4
2xのとき,g' (x) > 0,
x2+4
2x
x² +4
であるから、ある区間において
曲線 C が直線y=α の下側にあるならば
g'(x) > 0,00
曲線C が直線y=αの上側にあるならば
g'(x) < 0.
... 1
のとき,g(x)<0
である.
よって, g'(x) の符号変化は曲線 Cと直線
y=a の上下の入れ替わりで捉えることができ,
(*)は
「曲線 C が直線y=a を下から上に
横切る箇所と上から下に横切る箇所
が1つずつある
... (*)
36-
と言い換えられる.
(1) で曲線Cの概形はかいてあるから、
満たすaの値の範囲をグラフから読み取ると
- <a<0, 0<a</
である.
このとき,g(x)の符号は次のように変化して
おり,(*) を満たすことがわかる.
0<a</1/2のとき..
①
・1/2<a<0のとき.
+
1
2
+
O
2
y
WAO.
0
1-171/2012
12
①
0
①
また、a が -/1/2<a<0.0<a</1/23 の範囲に
含まれない値のときは (*) を満たさない.
例えば、a=0のとき, 曲線 C は直線y=0
(x軸) を原点で下から上に横切るが, x軸が C
の漸近線であることに注意すると, 曲線Cがx
軸を上から下に横切ることはないので,g(x) は
極大値をもつが極小値はもたない .
2
(i)(i) より の値の範囲は,
①
(+
2
y=a
C
y=a
- <a<0, 0<a</
y = 0
であるが、 α
には, 0 <a
g(x)
るxの値
Cが直線
前後で曲
る.
したか
Cと直
0<a<
C