Question

大阪

(2)の
T=S-(a₁a₂+…)
で質問なのですが、(a₁+a₂+…)×(a₁+a₂+…)を展開すると隣り合う2項の積のペアは2つできるのではないですか?たとえば(a₁+a₂)×(a₁+a₂)を展開するとa₁²+2a₁a₂+a₂²になります。なのでT=S-2×(a₁a₂+…)としないといけない気がするのですがどこで自分は勘違いしていますか?

学的帰納法
⑤
数列 1,2,3,..,nについて,次の問に答えよ。 ただし,n≧2とする。
(1) 異なる2項の積の総和を求めよ。
(2) 互いに隣り合わない異なる2項の積の総和を求めよ。
(1) 第n項を an とすると
an=n
(a₁ + a₂+...+an)² = (a₁² + a₂² + ... + an ²)
よって
であることから、求める和をSとすると
(2₂) = a.² +2
\k=1
k=1
+2(a₁a₂+a₁a3+ + an-1an) a₁a2+a₁a3+ +an-1an
の部分が a1,a2, ...,
an の異なる2項の積の和
である。
S=
·½{(2ª₂)² - Žª.²¹}
k=
Za₂ = {k= = n(n+1)

るのは第何項か。
なるのは第何項か (
考える。 |
第11巻ま
数使用
の項数の数
(2) 互いに隣り合わない異なる2項の積の総和を求めよ。
(1) 第n項を an とすると
an = n
(a₁ + a₂ + • • •+an)² = (a₁² + a₂² + ... + a₂²)
よって
であることから、求める和をSとすると
(2₁₁)² = 2,³² +25
k=]
S=
Žar² = ¹k² =
k=1
①②, ③ を代入すると
=
=
2
S= + {(2 ª.)² - 2a.²}
2
+2(a₁a₂+a₁a3+...+an-1an)
Žax = k = n(n+1) ....
ak
k=1
n(n+1) (2n+1)
1
24
1
24
1
{+ n²(n + 1)² = n(n+1) (2n +
2
-n(n+1){3n(n+1)
— 2(2n+1)}
n(n+1)(3n²-n-2)
1 -n(n+1)(n − 1)(3n+2)
24
3
a₁a₂+a₁a3+...+an-san
の部分が αi, a2,..,
an の異なる2項の積の和
である。
共通因数でくくる｡
(c

■1=6のとき
100-85=15
分母が平方数である
を利用。
第 4 群までの騒数料
■ / = 4 を代入して
= 1,2,34
+8+15+2+5
こしてもよい。
24
(②2) 求める和をTとすると
ここで
よって
TS-(ara2+aza+asa ++αn_1an)
-
= 1・2+2・3+3・4+･・・+(n-1)n
- Ek(k+1)
=
k=1
=
aa2+azas+asa4 +..+an-ian
-n(n+1)(n-1)(3n+2)
n-1
n-1
(k² + k) = = 1³²
(n-1)(2n-1)+1/12(n-1)n
k=1
11/12 (1
6
=
+
!!
k
1/13(n-1) z{(2n-1)+3}=1/13(n-1)z(n+1)
·(n.
1
T= n(n+1)(n − 1)(3n+2) − ½ (n−1)n(n+1)
24
1
· (n −1)n(n+1){(3n+2)−8}
24
· (n − 2)(n−1)n(n+1)
aa2+azas+..+an-1dn
は互いに隣り合う2項
の積であるから,これを
Sから除くとTとなる。
=
1212 16 16
k
· (n − 1){(n − 1)+1}
-(n-1)n
k²
(n-1)n{2(n-1)+1}
(n-1)n(2n-1)
章
17
7 いろいろな数列
Mo