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解説の為に問題文にある等式cosθ-sinθ=1/2を①とおきます。
まず、別解の大まかな方針としては
相互関係1+tan²θ=1/cos²θを用いて今回欲しいtanθについての式に整理して解くことになります
(何故この相互関係の式を使うかと言われれば、問題文にある式をsinθを含まないようなcosθについての式を作ることでtanθだけの式を作る方針を達成する為です)
θ=90°のときを考えると、cos90°-sin90°=0-1=-1となるので、①の式を満たしません。よってθ≠90°ということがわかります。
ここでθ≠90°の確認をわざわざ行なっている理由は、①を両辺cosθで割ったときに、もしもθ=90°であればcosθ=0となってしまい、0で割るということと同義となってしまう為です。この確認を行えば0°≦θ≦180°の範囲ではcosθはθ=90°以外で0になることはないので、0で割るということも起きません。
①を両辺cosθで割ると、1-sinθ/cosθ=1/2cosθとなり、相互関係sinθ/cosθ=tanθによって、
1-tanθ=1/2cosθとなります。
ここで、大まかな方針で挙げた相互関係1+tan²θ=1/cos²θのcos²θに代入できるような形に整えるので、両辺に2をかけて
2(1-tanθ)=1/cosθ
できたこの式を相互関係に代入して
1+tan²θ={2(1-tanθ)}²
展開して整理していきます
1+tan²θ=4(1-tanθ)²
1+tan²θ=4(1-2tanθ+tan²θ)
1+tan²θ=4-8tanθ+4tan²θ
3tan²θ-8tanθ+3=0
ここで、2次方程式を解くようなイメージをしてください。(tanθをxだと考えて解の公式を用います)
tanθ=8±√8²-4･3･3/2･3
=8±√64-36/6
=8±√28/6
=8±2√7/6
=4±√7/3
なのでtanθ=4±√7/3と出てきました。(解説の為にこの式を②とおきます)
あとはこの±の符号がどちらになるのかを考えます。
ここで☆に注目すると、cosθからsinθを引いた値は正の値になるということがわかります。なので、cosθの値はsinθの値よりも大きいことがわかるので
cosθ>sinθ≧0となります。
0≦θ≦180°の範囲でcosθ>sinθ≧0となる条件は、
0<θ<45°のときだけです。(この範囲ではsinθは0→1/2→1/√2の直前までという風に値が増加し、cosθは1→√3/2→1/√2の直前までという風に減少し、θ=45°でsinθもcosθも1/√2という値をとることがわかります)
0<θ<45°という範囲では、tanθは0<tanθ<1の値しかとれないので、②の±の符号が+のときと-のときの2通りを考えると、
2<√7<3なので
4+√7/3>1
4-√7/3<1
となり、0<θ<45°を満たす数は4-√7/3だけなので、
答えとなるtanθの値は4-√7/3です。
長文になってしまい申し訳ないです。
大変かと思いますが、理解してもらえると嬉しいです。
