Question

りゅう

別解ニのやり方がわかりません

教えてほしいです！

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基本例題 25 方程式の表す図形
次の方程式を満たす点z 全体は,どのような図形か。
|z-2i|=2|z+il
31=20
CHARTO SOLUTION
複素数の絶対値 |z|は|zとして扱う
n|z-a|=m|z-β (mon) の形の方程式は,両辺を2乗して, |z-|=△の
形啼く。 ・・・・・・!!
点の全体は中心が点 半径が▲の円。
その式変形の際は, 共役な複素数の性質
zz= |z|2, a+β=a+B,α-β=α-B を使う。
整理して
よって
mm×30 30枚 ノ-3CATA
別解 1 z=x+yi(x, y は実数) とすることによって, z-2i=22|z +i から
x,yの方程式を導く。
別解2 等式の図形的な意味を考える。
すなわち,次のことを利用する。
「解答」
|z-2i| =2|z+i の両辺を2乗して
|z-2i=22|z+i
よって
(z2i) (z-2i)=4(z+i)(z+i)
ゆえに (z−2i)(2+2i)=4(z+i)(z−i)
両辺を展開すると
m>0,n>0,m≠n とする。
2点A, B からの距離の比がmin
(一定)である点Pの軌跡は,線分
AB を minに内分する点と, 外分
する点を直径の両端とする円 (アポ
ロニウスの円) である (p.40 基本事項 2 解説 参照)。
zz+2iz-2iz+4=4zz4iz+4iz+4
zz-2iz+2iz=0
(z+2i)(z-2i)-4=0
AP:BP=m:n
A
-m.
-n-
p.40 基本事項 ②
B
m-
·lal² =αa
n
■z-2i=z-2i=z+2i
zti=zti=z-i
◆3zz-6iz+6iz=0
←zz+αz+βz

事項 2
別解1 z=x+yi(x, y は実数) とすると
これらを |z2il={2|z + i|}^ に代入すると
展開して
すなわち
変形すると'
|z-2i²=x+(y-2)i|²=x²+(y-2)²
|z+i=|x+(y+1)i=x2+(y+1)^²
x2+(y-2)^=4{x2+(y+1)2}
x2+y2-4y+4=4x²+4y2+8y+4
x2+y2+4y=0
x2+(y+2)=4
これは,座標平面上で,点(0,-2) を中心とする半径2の円
を表す。
a=
よって, 複素数平面上の点z全体は
1•2i+2(−i) _
2+1
=0
ß=-1・2i+2(-i)
2-1
40-2人
ゆえに,点z全体は
点 -2i を中心とする半径2の円
別解2 A(2), B(-i), P(z) とすると, z-2i=2z+i| から z-iは2点A, P間
AP=2BP
の距離。 |z + iは2点B.
AP: BP=2:1
よって
P間の距離を表す。
線分 AB を 2:1に内分する点を C(a), 外分する点をD(B)
y₁
とすると,点P全体は, 2点C, D を直径の両端とする円で
ある｡
0+(-4i)
2
-=-4i
2点 0 -4iを直径の両端とする円
[注意 円の中心は,線分 CD の中点であるから
点
すなわち点2i
α, bが実数のとき
円の半径は CD_|-4i-0|_4 -=2
2
2
となり,本解,別解1の結果と一致していることがわかる。
\a+bil=√a²+ b²
+3x²+3y² +12y=0
←x²+(y+2)²-2²=0
A(2₁)
(2)
0①
・C(0)
B(-i)
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D(-41)
このような答え方でも
よい。
別解2の炒方
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