● 7 数表・
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正方形の縦横をそれぞれn等分して,n2 個の小正方形を作り,小正方
形のそれぞれに1からn2 までの数を右図のように順に記入してゆく.
j≦n, k≦n として,次の にあてはまる数または式を答えよ.
(1) 1番上の行の左からk番目にある数は ア.
(2) 上からj番目の行の左端にある数はイ.
(3) 上からj番目の行の左からん番目にある数は,
解答量
う番目の行の左側からん番目にある数を (j, k) とする. 例えば,(2,3)=8
(1) (1, k)は図1の正方形に入っている最後の数で, ア=(1, k) =k
(2) 1つ手前は (1, j-1) だから, イ= (j, 1) = (1, j-1)+1=(j-1)2+1
(3) 図 2,図3より, ウ=j
k=1
図2より, 1≦k≦jのとき, (j, k) = (j,1)+k-1=(j-1)+k (=エ)
図3より, j<k≦nのとき, (j, k)=(1, k) - (j-1)=k-j+1 (=オ)
(4) [引いてから和をとる方が少しラク (1), (3)より, (j,k1, は,
(i) 1≦k≦jのとき, エーア= (j-12+k-k2
(i) j+1≦k≦nのとき, オーア=-j+1
よって, 求める 「和の差」 は,
n-jコ
2{(j-1)+k-k2}+2(-j+1) [m=(-j+1)+…+(-j+1)]
k=j+1
=j (j−1)²- Σk(k −1) + (n − j) (− j+1)
ここで右下の傍注), k(k-1)={(k+1)k(k-1)-k(k-1)(k-2)}÷3
(k+1)-(k-2)=3に注意]より,k(k-1)=1/23(+1)j(j-1)…………☆
@=j (j−1)² – (j+1) j ( j−1) + (n−j) (−j+1)
3
キリのいい形で 数を一定の規則によって並べたものを扱う問題は, キリのいい形に着目し,解決
の糸口をつかもう.上の例で言えば,正方形に着目する.
=(1-jn+1/23(j-1)(25-1)
1≦k≦ウのときエ, ウ <k≦nのときオ.
(4) 上からj番目の行のn個の数の和から最上行のn個の数の和を引くと,カとなる。
(京都)
nが入っていない部分は
j(j-1)でくくれるこ
とに注意して計算
07 演習題 (解答は p.26 )
で割って1余る数を4から始めて順番に右図のように上か
並べていく. 例えば4行目には,左から 22 25 28, 31 の4
数が並ぶことになる。この
図1
1
4
2
3
5
6
10 11 12 13
図2
図3
916
8
1
15
1
7 14
…..
/ :/ :/ : /
7:
(ア
k
[について]
a=k(k-1)に対して,
を
(イ
kj1j〜ウ
(j-1)²
E
bk=k(k-1)(k-2)÷3と定
ると,k=bk+1-bk が成り立
Q5 と同様に計算できる。
Σa₂= 2 (b₂+1-b₂)=b₁+1²"
k=1
k=1
= bj+1
