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参考・概略です

①「金メダルと銀メダルの個数は9個である。」
   金+銀=9 → x+y=9

②「金メダルの個数は銅メダルの個数の2倍より6個少ない」
   金=銅×2-6 → x=2z-6

③「銀メダルの個数の3倍と銅メダルの個数の和は
  10個より多く,20個以下である」
   10<銀×3+銅≦20 → 10<3y+z≦20

①より,y=9-x ・・・ ①'
②より,z=(x+6)/2 ・・・ ②'

①'、②’を③へ代入
 10<3(9-x)+(x+6)/2≦20

各辺を2倍【注:( )内はそのまま】
 20<6(9-x)+(x+6)≦40

展開し整理
 20<54-6x+x+6≦40
 20<-5x+60≦40

各辺から60を引く
 -40<-5x≦-20

各辺を(-5)で割る【注:不等号の向きが変わる】
 8>x≧4

小さい順に直す
 4≦x<8

xは整数なので,範囲内にあるxは
 x=4,5,6,7 

x=4,5,6,7を①',②’へ代入し{y、z}を求めると
 x=4 のとき,y=9-(4)=5,z=((4)+6)/2=5
 x=5 のとき,y=9-(5)=4,z=((5)+6)/2=5.5
 x=6 のとき,y=9-(6)=3,z=((6)+6)/2=6
 x=7 のとき,y=9-(7)=2,z=((7)+6)/2=6.5

x,y,zは整数であることから絞って
 x=4,y=5,z=5
 x=6,y=3,z=6

確認
 金(4)+銀(5)=9,金(4)=銅(5)×2-6
   10<銀(5)×3+銅(5)≦20 ・・・OK

 金(6)+銀(3)=9,金(6)=銅(6)×2-6
   10<銀(3)×3+銅(6)≦20 ・・・OK 

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