Question

りん

詳しく解説してほしいです。

log102=0.3010, log103=0.4771 として, 次の問いに答えよ。
•236
(1) 530 は
また, 0.06% は小数第1位に初めて 0で
桁の整数である。
ない数字が現れる。
[16 名城大 ]
(2)2が3桁の数となるような自然数nの最大値は 2” が 8桁となるよ
うな自然数nの最小値は
である。
[13 名城大]

Answer 1

mo1

(1)
★考え方：
例：3桁の数475は、100≦375＜1000　→　10²≦375＜10³
例：0.0057は、0.001≦0.0057＜0.0　→　10⁻³≦0.057＜10⁻²

準備
log₁₀[5]＝log₁₀[10/2]
　　　　＝log₁₀[10]－log₁₀[2]
　　　　＝1－0.3010
　　　　＝0.6990
log₁₀[0.06]＝log₁₀[(2×3)/10²]
　　　　　 ＝log₁₀[2]＋log₁₀[3]－log₁₀[100]
　　　　　 ＝0.3010＋0.4771－2
＝－1.2219

ア：n桁とすると
　　　10ⁿ⁻¹≦5³⁰＜10ⁿ

　　常用対数をとり
　　　log₁₀[10ⁿ⁻¹]≦log₁₀[5³⁰]＜log[10ⁿ]　から
　　　(n－1)･log₁₀[10]≦30･log₁₀[5]＜n･log₁₀[10]　
　　　(n－1)･1≦30･0.6990＜n･1
　　　　n－1≦20.97＜n
　　　　－n＜－20.97≦－n＋1
　　　　　0＜n－20.97≦1
　
　　　　20.97＜n≦21.97
　　　nは整数なので、n＝21
　　　5³⁰は21桁
　　
イ：小数第ｎ位に初めて0でない数が現れるとすると
　　　10⁻ⁿ≦0.06³⁰＜10⁻ⁿ⁺¹

　　常用対数をとり
　　　log₁₀[10⁻ⁿ]≦log₁₀[0.06³⁰]＜log[10⁻ⁿ⁺¹]　から
　　　－n･log₁₀[10]≦30･log₁₀[0.06]＜(－n＋1)･log₁₀[10]　
　　　－n･1≦30･(－1.1229)＜(－n＋1)･1
　　　－n≦－36.657＜－n＋1
　　　　0≦n－36.657＜1
　　　　36.657≦n＜37.657
　　　nは整数なので、n＝37
　　　0.06³⁰は小数第37位に0で無い整数が出てくる

mo1

(2)
★考え方：
例：3桁の数475は、100≦375＜1000　→　10²≦375＜10³

ア　10²≦2ⁿ＜10³
　　　log₁₀[10²]≦log₁₀[2ⁿ]＜log₁₀[10³]
　　　2･log₁₀[10]≦n･log₁₀[2]＜3･log₁₀[10]
　　　2･1≦n･0.3010＜3･1
　　　2≦0.3010n＜3
　　　　2/0.3010≦n＜3/0.3010
　　　　6.645…≦n＜9.966…
　　nは整数なので、n＝7，8，9
　　　nの最大は9　[2⁹＝512，2¹⁰＝1024]

イ　10⁷≦2ⁿ＜10⁸
　　　log₁₀[10⁷]≦log₁₀[2ⁿ]＜log₁₀[10⁸]
　　　7･log₁₀[10]≦n･log₁₀[2]＜8･log₁₀[10]
　　　7･1≦n･0.3010＜8･1
　　　7≦0.3010n＜8
　　　　7/0.3010≦n＜8/0.3010
　　　　23.255…≦n＜26,578…
　　nは整数なので、n＝24，25，26
　　　nの最小は24　[2²³＝8388608，2²⁴＝16777216]