Question

たたた

写真の式の赤枠についてですが、
h→0からk→0と書き換えられる理由は、
lim[h→0]のときのk=0はk→0と同値？(k=0とk→0は同じ意味)だからですか？

考える.
k=g(x+h)-g(x)
limg(x+h)=g(zr),
h-0
xth)
glatk
lim f(g(x+h))-f(g(x)) ƒ(g(x+h))−ƒ(g(x))¸g(x+h)−g(x)
h→0
h
\ƒ(g(x)+k)−ƒ(g(x))_g(x+h)−g(x) ..(*)
f(g(x)+k)-f(g(x)) f(g(x) + k) —ƒ (g(x)) = f'(g(x))
k
- lim/(g(z)+k).
h→0
lim
h→0
とすると,g(x) は連続なので,
すなわち limk=0 である.
h→0
lim
h→0
g(x+h)-g(x)
h
=lim
h→0
=lim
k-0
=g'(x)
(815).
g(x+h)-g(x)
h
(UK)
h

Answer 1

沢木陽織

問題の設定にもよりますが、厳密なことを考え出すとそのようや変形が成り立つかどうかはちょっと怪しいですね。例えば、g(x)=0(定数関数)の時、g(x)は連続かつ微分可能で、lim[h→0]k=0は確かに成り立ちますが、そもそも常にk=0なのだからkを分母に持って来ることはできません。(まあ結局最終的な答えは一致しますが、記述としてはちょっと問題ありですよね)
この0除算の問題は別としても、h→0でk=0とした時、ある関数について、「h→0の時の極限」と「k→0の時の極限」は、場合によっては一致しない可能性があります。(ちゃんと説明しようとするとε-δ論法という大学数学の内容を持ち出すことになります)
とはいえ、高校数学で出てくるようないわゆる普通の連続関数なら、その解答のような変形が成り立つと考えてしまっておそらく問題ないと思います。