Question

あ

第5問(iv)の答えがなぜ1：4になるのかがいまいちよく分かりません…💦

数であっ
一つ選べ。
不
自
｢第3問~第5問は,いずれか2問を選択し、 解答しなさい。
第5問(選択問題) (配点20)
ある日,太郎さんと花子さんのクラスでは, 数学の授業で三角形の重心,外心,内
心についての宿題が出された。授業で学んだことは以下のとおりである。
△ABCをABキ AC である鋭角三角形とし, 重心をG, 外心をOとする。
また、辺BCの中点をA', 辺CAの中点をB', 辺ABの中点をCとする。
ア
B
A'
上にある。 また,外心0は
重心Gは
そして､重心Gは△ABCの
にある。
(1) 次の問いに答えよ。
(i) ア
イ
頂点Aと点A'を結ぶ線分
上にある。
にある。また,外心Oは△ABCの I
に当てはまるものを、次の①~③のうちから一つずつ選べ。
① 辺BCの垂直二等分線
② ∠BACの二等分線
③頂点Aから辺BCに下ろした垂線
B'
数学Ⅰ・数学A
ウ
ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
I に当てはまるものを、次の①~③のうちから一つずつ選べ。
⑩ 内部 ① 外部 ② 辺上
③頂点
(数学Ⅰ･数学A 第5問は次ページに続く。)
数学Ⅰ・A
77
HT
のとき

-8
数学Ⅰ・数学A
(2) 授業の内容を受け, 太郎さんたちは,3つの三角形について外心の位置関係を調
べる以下の宿題に取り組んだ。
14-8
AB > ACである鋭角三角形ABCに
おいて、頂点を通り, それぞれの向か
い合う辺に平行な直線の交点を、右の
図のように Az, B2,C2 とする。
さらに, ABCzにおいて、頂点を
通り,それぞれの向かい合う辺に平行
な直線の交点を 同じく右の図のよう
Ba
に A3, B3, C3 とする。
△A2B2C2の外心を0, △ABCの外心をOとする。
3点 0, 0, 0gの位置関係を調べよ。
C
太郎: そうか。 だから, A2D: DA=
オ
B
C
A
A₂
カ
A
太郎さんと花子さんは,この問題について次のような会話をしている。
花子:3つの三角形の外心を一度に扱う前に、2つの三角形で考えてみよう
よ。まず,外心00%の関係から始めましょう。最初に,線分 AA
と線分00円の交点をDとすると,相似な三角形△DOAと△DOA
ができるね。 そして, O2A: OA' を考えれば,△DOzAと△DOA、
だとわかるね。
の相似比が オ
オ
だから, 点Dは△ABCの
As
B
C
B 2
太郎: AD: DA'=
がわかるね。
花子: 点Dは△A2B2C2の
カ でもあるよ。 なぜならば、 四角形ABAC
は平行四辺形でしょ。 点A'は対角線BCの中点だから, 対角線A2A
の中点にもなるよ｡
であること
となって,点Dは△ABC2の
カ でもあるんだね。
花子: これで、△ABCと△A-B2C2 に対して, 点Dと外心O, Ogが一直線
上に並び, DO: DO2 の比の値もわかったね。 そして, △ABCsと
点03 も加えて考えると, △ABCと△ABC3 に対して,同じ議論
ができるね。
(数学Ⅰ･数学A 第5問は次ページに続く。)
太郎 ということは、点D, 0, 0, 0, は同一直線上に並ぶことがわかるね。
で
花子 点B3に近い順に並べるとキ
(i)
となって DODO
あることもわかるね。これで3点0, 0, 0 の位置関係がわかったね。
⑩ 1:1
カ
に当てはまるものを、 次の①~④のうちから一つ選べ。
⑩ 重心
① 1:2
(iv)ク
① 外心
キ
DSC
に当てはまるものを,次の ⑩ ~ ② のうちから一つ選べ。
⑩ 0, D, O2, 03
② 0, 03, D, O2
②2:1
⑩ 1:1
② 内心
③1:4
に当てはまるものを,次の ① ~ ③ のうちから一つ選べ。
数学Ⅰ・数学A
① 0, D, O3, O2
③ 03, 0, D, O2
①1:2
④ 4:1
に当てはまるものを、次の①~④のうちから一つ選べ。
②2:1
③1:4
④ 4:1

第5問
問題のねらいとアプローチ
円や三角形が絡んだ図形について様々な考
察を行う問題。 三角形の重心,内心,外心
の性質は基本事項であるので、正しく理解
しておこう。 いくつも点が出てくるのでや
やこしく感じるかもしれないが、丁寧に図
示しながら確認していこう。 また、会話が
問題を解くための誘導となっていることも、
うまく利用しよう。
(①) 重心Gは3本の中線の交点である。
B'
A'
外心Oは3辺の垂直二等分線の交点である。
B
Off
#
■
A2
G
B'
C
また、3つの内角の二等分線の交点を内心と
いい, 3つの頂点から対辺におろした垂線の交
点を垂心という｡
重心Gはかならず三角形の内部にあり,外心
0は, 鋭角三角形のとき内部に, 直角三角形の
とき辺上に鈍角三角形のとき外部にある。
(答) アイ ① ウ ⑩ エ ⑩
(2) まず, △ABCと△A2B2C2は相似比が
1:2の相似な図形になる。
O
/D
A'
B'
C
B'
B2
よって, 点 0, 02 はそれぞれ△ABC, A 2B2C2
の外心だから、
O2A: OA' =2:1 ... ①
BC // B2C2, OA'⊥BC, OA⊥BCより
OA// OA' となるから, DOZAとDOA'は
相似になり、その相似比は①より 2:1になる。
したがって, DADA' =2:1より, 点Dは
△ABCの重心になる。
四角形ABACは平行四辺形であり, A'は対
角線BCの中点より, AA'=A'A2
よって, AD: DA =2: (1+3) = 1:2になる
から, 点Dは△A 2B2C2の重心でもある。
(mm), (iv) 次に△A 2B2C2 と△ABC3 に対しても、
△ABCと△AB2C2のときと同様に考えられる
から, 4点D, 0, 02,03の位置関係は次のよ
うになる。
C2
e
B
B
03
ED
DODO21:2
だから,
-C3
A2
よって, 4点を点B3 に近い順に並べると0g,
O, D, O2 になり、
DO2 DOg=1:2
解き直し
必須!
DO: DOg=1:4
C
B₂
数学ⅠA
(答) ② ⑩ キ ③ ク ③
(1) 三角形の「○心」についての問題
重心,内心,外心,垂心の性質は、よく利用され
るので、1つずつ正しく理解しておくことが重要
だ。 数学Ⅰの「図形と計量｣や数学Bの「ベクトル」
などでもよく出てくるので応用範囲が広い。
数学Ⅰ
ぶことがわた
: DO3=
関係がわか
つ選べ。
49
・つ選べ。
選へ