Question

りゅう

実数解がなんなのか分からなくなりました、

三次方程式と3次関数の場合で考え方が違うんですか？

ずっと実数解はX軸とまじわるところの解と覚えて来ました、しかし1枚目では1点しか接していなくても実数解が2個とか、

2枚目では実数解1個やったらX軸と接するのは1つ(1枚目の考えでいくと、極大値と極小値があるから実数解は2個となる)

混乱してます((。_。).。o？助けてください

D
まとめ 3次関数のグラフのまとめ
数学ⅡIの微分法では3次関数を扱うことが多い。
の特徴を、ここで改めてまとめておこう。
p.271 基本事項4でも簡単に触れたが, これまで学習してきた3次関数の性員やグラフ
3次関数f(x)=ax²+bx2+cx+d に対し
| 2次方程式 f'(x)=0 (3ax²+2bx+c=0) の判別式をDとすると
傾きが〇であ
D
a>0
A
a<0
inf.
4
f(x)=0実数解α, β(a <B)
極値がある
= b2-3ac>0
x
B
f'(x) + 0
0 +
f(x) 極大 極小 >
極大
a
極に
1
1
a
18-0
極
小
x
B
f'(x)
+ 0
f(x) 極小 極大
a
α
B
f(x)=0はただ1つの縁をもつ
...
極大
他の
が2つ
B
重解 α
(020 極値がない
$12.12
D
4
As
x
= b2-3ac=0
f'(x) +
f(x) f(a)
f(x)≧0
常に増加
x
a
D
4
f(x)=0の価証=実教育の価
a
1
I
0 +
...
a
0
f(x) f(a)
a
1個口の玄
が1つ
f'(x) ≤0 $
常に減少
...
x
x
-=b2-3ac
D=6²-3ac<0
4
実数解がない
極値がない
x
f'(x) +
f(x) /
f'(x) > 0-10
常に増加
XC
f'(x)
f(x)
279
14209
生かし
x
(f'(x)<0
常に減少
3次関数f(x) の性質
① 極値をもつ ⇔ f'(x)=0 が異なる2つの実数解をもつ
②極値をもつ極大値と極小値が1つずつ (極大値)> (極小値)
6章
21
関数の値の変化

5000
直によっ
・すい
する。
代の実
=g(x)
=a
一致
基本例題195 文字係数の方程式の実数解の個数 (2)
00000
3次方程式 - 3ax+2=0 が実数解をただ1つもつように、定数の値の
範囲を定めよ。ただし, a>0とする。
[類津田塾大]
SOLUTION
αと変形してもy=
CHART
x³+2
x³+2
3x
3x のグラフは数学Ⅲの知識がないとかけない。
よって, y=x-3ax+2のグラフとx軸の共有点の個数を調べる｡・・・・・・
f(x)=x-3ax+2 とするとき, y=f(x)のグラフとx軸の共有点が1個となる条件を
考えればよい。
f-d>0であるから, f(√a) >0 となればよい。
-2a√a+2>0 から
a√a < 1 すなわち <1
> 0 であるから 0<a<1
x
f(x)=3x2-3a=3(x2-a)=3(x+√a)(x-√a)
x= -√a, √a
f(x)=0 とすると
増減表は右のようになるから, f(x) の
a
f(-√a)=2a√a+2,
(f'(x) +
20 +
極大値は
極小値は
+2
f(√a)=-2a√a
中部解 f(x) 極大ゝ 極小 >
"totu 1₂
u
y=f(x)のグラフとx軸の共有点が1個である条件は
af (va)>0となることである。
194
INFORMATION 3次方程式f(x)=0の実数解の個数と極値
(f(x) の3次の係数が正の場合)
[1] 実数解が1個のとき
[2] 実数解が2個
Na
T
293
極大
-√a
***
極小
√a
[3] 実数解
3個の

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

青

関数
一方の数値が決まると別の数値が決定する式のこと。
y=xの3乗(x=2と決定すればy=8となる)
f(x)=2x+1(これならx=2と決定すればf=5となる)
のような形の式

方程式
まだわかっていない文字を含む等式のこと。
y=4とy=x+1という式があった時、に
4=x+1
とすればそれは方程式です。

多分混乱している原因は微分によるものですね。2枚目の問題が言っている実数解とは、f(x)=0の解を言っていて、f'(x)=0の解のことではないのです。1枚目の実数解α、βというのはf'(x)=0のときのことで区別する必要があります。

青

補足
本当に大雑把な説明ですが、
方程式:解を持つ式
関数:ある値が決まったら他の値も決まる式
って認識を持っていればとりあえず大丈夫です

りゅう

ありがとうございました😊

Answer 2

ふぃる

まず関数と方程式の違いを言っておきます。
関数にはそもそも解というものはありません。xをy＝f(x)の対応にしたがって送られたyがただ1つに定まる時、yはxの関数であるといい、その(x,y)の組をグラフにしています。そして方程式f(x)＝0の方程式を解くにあたって、y＝f(x)という関数におけるy＝0になるようなxを求めることであり、すなわちx軸との交点が解になります。図示することで色々と考えやすくなります。しかし実際解こうと思ったら解の公式を使ったり因数定理を使ったりして求めるしかないです。ただ、解の配置問題や実数解が何個あるかを知るだけなら具体的な解は必要なくどこにあるのか、何点交わるのかを調べれば良いです。つまり、グラフの形や場所がどこにあるかを知る必要がありそこで複雑な関数は微分して概形を求めることがよくあります。

では写真について、まず1枚目は何を言っているかというと、3次関数f(x)のf'(x)＝0の解の個数によってグラフの形が違うということを表しています。普通に増減表書けば分かることですが事実として知っておいた方がいいでしょう。つまりf'(x)＝0の解の個数の話なのでf(x)＝0の解の配置には関係していません。もちろんy＝f'(x)のグラフを書けばx軸との交点に対応します。
2枚目はそのまま三次方程式f(x)＝0の解の個数問題なので、y＝f(x)のグラフのx軸との交点が1つになるようなグラフを考えれば良いです。

りゅう

ありがとうございました😊