Question

倶知安くっちゃん

【微分連立方程式】写真は，長岡技科大令和3年の編入試験問題です．大問2番について，教えてください．

(1)(2)については，私なりに解けました．
正答かどうかの採点と，誤答の際は解法を教えてください．

(3)(4)は，解法がさっぱりわかりません．
具体的にどのように計算をしていくのかを教えてください．

よろしくお願いします．

問題用紙
(数学･応用数学)
(200)
010
(2 1 0
問題1 正方行列をA 020],B= 001C = 0 21 とおく｡
002
0 0 0
002
また,nを自然数とする。 下の問いに答えなさい。
(1) B', B3 を求めなさい。
(2) AB, BA を求めなさい｡
(3) Annを用いて表しなさい。
(4) n≧2に対して, C を n を用いて表しなさい。
問題2 実数tの実数値関数 π1=π1 (t), x2 = 12 (t) についての連立微分方程式
drs
dt
(*)
を考える。 また, A =
6 6
^- (-22 5) ²³
=61+62
dr2 =-211-22
dt
とおく。 下の問いに答えなさい。
(1) Aの固有値, 固有ベクトルを求めなさい。
(2) P-1AP が対角行列となるような2次正方行列P を一つあげなさい。 また,
P-1AP を求めなさい｡
(3) P前問 (2) におけるものとし,実数tの実数値関数 3/13/1(t), 3/2=y2 (t) を
=P-1
により定める。 このとき, (*) を 3/1, 12 についての連立微分方程式に書き換え
なさい。 また, 1/1, 3/2 を求めなさい｡
(4) 1, T2 を求めなさい。
一問2枚中の1枚目一
長岡技術科学大学

No.
DATE
②x=x(t) x2=x2(t)
A=1g
(1) Aの固有値・固有ベクトル・
固有方程式
det (6-1 _6 ) = (6-^)(-|-X) + 12 = 0
・入=2のとき
66
ツ
(46
1-2-3
dzi
4x+64=0
dt
dxz
dat
-6-6x + λ + x ² / 12 = 2²-5x+6=0
(x-2)(x-18) = 0
入=2,3 国有値
=6x1+6%2
-2x1-22
90
-X. Zake (86₂) (²3)-0 (8) + (-²)
・入=3のとき
36
2
1-2-4
(2) P-1APが対角行列となるようなPを1つ挙げよ、又P-1APを求める
P = (-²4 ²₁ )
62
7-1
P-¹AP = (88)
(3) PE (2) 1=5173502L) 8₁= y₁ (t), y(t) = (01) - P+(²3)