Question

nd41

なぜmとkが互いに素であると言えるのでしょうか…
教えてください。

思考プロセス
を正の整数とするとき, 次の問に答えよ。
(1) 二項係数の和 m Co+mC1+mC2+..+mCm-1+mCm を求めよ。
(2)
が素数であるとき, 1≦k≦m-1 を満たす整数んに対してmCkは
mの倍数であることを示せ。
(3)
が素数であるとき, 2"-2はmの倍数であることを示せ。 (関西大)
《ReAction 二項係数の和は, (1+x)” の展開式を利用せよ 例題6
m!
がの倍数mCk=mx (整数) の形に変形する。
k! (m-k)!
(2) mCk
=
(3) 前問の結果の利用
(1) を利用すると
2"-2= (mCo+m1+mC2+..+mCm-1+mCm)-2
これがm×(整数)の形に変形できることを示す。
解 (1) (1+x)"=mCo+mix+m2x2+..+mCm-12x"-1+mCmxm 二項定理を用いて
x=1 を代入すると
例題
( 1+x)" を展開する。
6
m
Co+mC1+mC2+...+mCm-1+mCm = (1+1) = 2m
(2) 1≦k≦m-1 を満たす整数んに対して
(m-1)!
(k-1)!{(m-1)-(k-1)}!
mCk
m!
k!(m-k)!
m
k
m
●
m-1Ck-1
よって
kmCk= mm-1Ck-1
ここで,mCk, m-1Ck-1 は整数であり,また, m は素数
であるからとんは互いに素である。
したがって, mCkはmの倍数である。
に (2) を利用
SAN
11
mx(整数)の形にするた
めに,mでくくり出す。
1≦k≦m-1 であるこ
とに注意する。
この式はよく用いられる。
p. 26 Play Back 1 参照。
1≦k≦m-1 である
ことに注意する｡ [
1章
1
章
Ⅰ整式分数式の計算

ここで,mCk, m-1Ck-1 は整数であり,また,mは素数
であるからとんは互いに素である。
したがって, mCkはmの倍数である。

二項係数 互いに素 整数 素数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

yk

素数は1と自身以外の約数を持たない数なので、mの約数は1とmのみ。k＜mなのでkとmの公約数は1のみだからkとmは互いに素。

nd41

なるほど！！
ありがとうございます！