Question

ゆーき

3項間漸化式を解く計算で、どうすれば解答(1枚目)の答えに持って行けるでしょうか。
計算は合ってると思うのですが…
教えて下さい🙇‍♀️

隣接3項間の漸化式 (3)
例題 302
2辺の長さが1cmと2cmの長方形のタイルがある. 縦が2cm,横が
cmの長方形の場所をこれらのタイルで過不足なく敷きつめるとき,そ
のような置き方の総数を an で表す.ただし, nは正の整数である.
(1) a1,a2 を求めよ.
(2) an+2a+1, an を用いて表せ.
(3) {an}の一般項 α を求めよ.
考え方 タイルの置き方を具体的にイメージしてみる.
のタイルをA
のタイルをBで表すと,
+2までタイルを置いたとき, 一番右端のタイルの置き方は, Aを1枚置くか,Bを2
枚置くかで2通りに分け
n+1
(ii)
n+1
nn+2
られる.これより,n+2
n√n+2
までのタイルの置き方は,
an+2=an+1+an となる.
解答(1)
タイルの置き方は1通りより
n=1のとき,
n=2のとき, タイルの置き方は2通りより、a2=2
(2) 横が (n+2)cm のとき, タイルの置き方は、次の2
つに分けられる.
SCORE
¹908
(i) すでに横が(n+1)
cm までタイルが置かれて
いて,最後に縦に1枚置いて, (n+2) cm とする。
(i) すでに横がncmまでタイルが置かれていて, 最
後に横に2枚置いて,(n+2)cm とする。
a=
9
an+1-aan=(2-α)βn-1
また, α+β=1,β2=β+1 より, 2-a=8+1=g²
よって,
② - ① より,
an+通り A のタイル
amtl.22同時に起こら m
α=1
a=1+√5₁
2
よって, (i), (ii) より,
an+2=an+1+an
(3) 特性方程式x²=x+1, つまり, x2-x-1=0の2つの解を
_1+√5
B==
1-√√5
2
2
数列{an+1- aan} は初項 az-aa α,公比βの等比数列より、
-
B
an+1- aan = β2.BB"+1......①
また, an+2-Ban+1=α (an+1- Bay) となるから,上と同様に,
an+1- Ban=an+1
an=
......
****
an 通り Bのタイル2枚
-B
n
または
まで置いて
(n+1)cm
いるので, an+1(通り)
縦に2枚並べる置き方
とすると, an+2 - Qan+1=β(an+1dam) となる。
は(i)に含まれる.
mmmmmmmmmmmm
p.534 参照
a₂-a₁ = 2-1-4-11-√5
D
-(an+¹_Bn+¹)
a-
1
n+1
1-√5 x"), an= √5 ((¹+√5)-(¹-√5)***
より,
2/
2
2
2
3+√5
n+1)

A₁ = 1₁A2 = 2103 4.
a3 = a₁ + a₂ +1
= 1 + 2 + 1 = 4₁
よって、(木)成立
(1)\m= k₁/k+/0v€ (+) IEEE
ak+ 2 = akti +akt!
m=k+2
(8) (2)より、
{
d+B=1
dp=-1.
(D.
x²-x-1=0.
は±√1+4
2
(± √5
Am 30.
(1).(0) 5).
Clienti
Con+2=arti + Am
Amt2-1-√5 amer =
1+√5
Anta-dante = B(Anti-dam).
(Amt₁ - 1-√5 (m)
2
Anto- (d + B) Anti +dB Am = 0.00 ( Carti - 1155 Cm- (0₂-16) (+) (45)
2
2
Clans - 1-ff Cam = (₂-1) (₁). (1+√5 +
m+2
1111 momまで置かれている所に、
1777 $1=2125ie.
Cmt 2 = Amti + Am
(Aonta-
(8. B) = (1+65 1-6), (1+/5 1415)
2
2
1-√5 (am+1 - 117/55 am)
1+√5
2
3-1-√s
3-41-√5) 3+√5
Blut.
32
(-x+√5 + X-_-²5 ) am = 3-5 (1-1/²)^²- 3+√5 (1+√5)^²)
2
-15

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

高橋

計算は合っています。
続きは以下の通りです。

ゆーき

遅くなって申し訳ありません！
ありがとうございます。
ちなみに、3-√5/2がそのように因数分解出来ることはどう気づけばいいのでしょうか。