不定方程式の場合、特殊解を見つける、ユークリッドの互除法、合同式を利用する方法があります。
解説には7x+17y=1から特殊解を見つけて69倍する手法を取っていると思いますが、合同式で解いてみます。
（合同式が未習なら解説通りやった方が良いです)
7x+17y≡69 (mod7)
→ 17÷7＝2…3、69÷7＝9…6 から
→ 3y≡6 (mod7)
÷2して
→ y≡2 (mod7)
7x+17y＝69 にy＝2を代入して
7x+34＝69
→ 7x＝35
→ x＝5
よって、(x,y)＝(5,2)が見つかるので
7x+17y＝69
-)7×5+17×2＝69
→ 7(x-5)+17(y-2)＝0
→ 7(x-5)＝17(-y+2)
x-5は17の倍数、-y+2は7の倍数なので、
x-5=17k → x=17k+5
-y+2＝7k → y＝-7k+2 (kは整数)
