-t
よって
a²-33=2
両辺に²を掛けて整理すると
a¹-2a²-3=0
(a²+1)(a²-3)=0
すなわち
a は実数であるから
したがって
a²=3
③ から a=√3のとき
a=-√3のとき
ゆえに, 求める複素数は
a² +1>0
よって
144
■■指針■
を定数と考え,xの2次方程式とみて、解を
求める｡
(2) x,yの1次式の積に因数分解できるため
は、その解がyの1次式の形になればよい。
解の公式によって現れる根号内が
(yの1次式) となる条件を考える。
(1) x2+xy-2y2-x+7y-6=0とおく。
xについて整理すると
=y+1±√(3y-5) 2
2
b=1
b=-1
√√3+i, -√3-
x2+(y-1)x-2y2+7y-6=0
これをxの2次方程式とみて解くと
x=_=(y-1)±√(y-1)²-4(-2y2+7y-6)
2
ゆえに
よって
-y+1±(3y-5)
2
x=y-2, -2y+3
与式={x-(y-2)}{x-(-2y+3)}
=(x-y+2)(x+2y-3)
(2) P=x2-xy-22-2x+7y+kとおく。
Pがx,yの1次式の積に因数分解できるための
条件は,P=0とおいた方程式
をxの2次方程式とみたとき, その解がyの
1次式で表されることである。
①をxについて整理すると
x2-xy-2y²-2x+7y+k=0
x-(y+2)x-2y2+7y+k=0
これをxの2次方程式とみて解くと
=Y+2±√(y+2)² − 4(−2y² + 7y+k)
2
:y+2±√√9y²—24y+4(1−k)
2
xyの1次式で表される条件は、 根号内の式
9y²-24y+4(1-k) が,yの1次式の平方となる
ことである。
すなわち, 2次方程式 9y2 - 24y+4(1-k) = 0の
判別式をDとすると, D=0が成り立つことで
ある｡
ここで
となるから
D
D = 0 から k+3=0
このとき, 根号内の式は
したがって
よって
=(-12)-9.4(1-k)=36(k+3)
よって
9y2-24y+16=(3y-4) 2
x=2+2士(3y-4)
2
x=2y-1, -y+3
与式={x-(2y-1)}{x-(−y+3)}
=(x-2y+1)(x+y-3)
145 xy +2(x+y)=8
x+y-xy=10
①+② から 3(x+y) =18
よって
x+y=6
これを②に代入すると
xy=-4
x+y=6,xy=-4から, x, yは2次方程式
t2-6t-4=0の解である。
t2-6t-4 = 0 を解くと
よって,解は
② とする｡
t=3±√13
k=-3
(x,y)=(3+√13, 3-√13),
(3-√13,3+√13)
146 2次方程式x2+mx+m+2=0が2つの整数
解α, β(α≧β) をもつとすると, 解と係数の関
係から
α+β=-m,αβ=m+2
①からm を消去すると
よって
すなわち
ゆえに
よって
(+1)(+1)=3
α, βは整数であるから, α+1, β+1 も整数で
ある。
α+β=-(αβ-2)
aβ+α+β-2=0
α(β+1)+β-2=0
(β+1)+(β+1)-3=0
ass より a + 1β+1 であるから、 +1,
+1の値の組は
(a +1, β+1)=(-3,-1),(1,3)
ゆえに
(α, β)=(-4,-2),(0,2)
このα, βの値の組に対するm の値は、①から
m=6, -2
理解出来ました。
ありがとうございます!!
しかし、解説2ページ目の4行目 すなわち~ のところが分かりません。
yの一次式の平方の判別式D=0が成り立つのことが条件だと書いてありますが、何故ですか。