Question

飛鳥

⑶の解説の「anの選び方によらない定数」の部分がよくわかりません。教えてください。

21からnまでの自然数を1つずつ選び、 順に a1,a2,.., an とする。 ただし, a1,a2, ..., anは互い
に異なる数とする。 このとき, 次の問いに答えよ。
84TJ
JOX
ABASA ABU BY
n
(1) 等式2=1/n(n+1) (2n+1) が成立することを示せ。
k=1
JUTC8 &&
n
(2) (an-k)2+{an- (n-k+1)}" をnを用いて表せ。
k=1
k=1
n
(3) Σ (ak-k) が最大となるときの 01,a2,.., an を求めよ。
k=1
SISONOAS
ADARSATIL

(2)与えられた条件より、②=2k, (a=2であり、これら
k=1
を用いて,与式をnを用いて表す。
LAG
n
(5x) = Σ {(ar)² — 2kak+k²}
k=1
= (an)²—2 Ë kan+ 2 k²
k=1
k=1
+ Σ{(ak)²—2(n−k+1)ak+(n−k+1)²}
k=1
=
n
+ Σ(ak)²-2Σ (n−k+1)ak+Σ(n−k+1)²
k=1
k=1
k=1
A
18081
n
n
-Źk²−2 ± kan + Zk² + Êk² −2² (n=k+1)ak+Zk²
k=1
k=1
A=1
k=1
k=1
=42k²_22{k+(n=k+1)}ax
n
-4x n(n+1) (2n+1)-2(n+1)x
= n(n+1) (2n+1)-2(n+1)x+ n(n+1)*
34 RELOOI AA
= n(n+1){2(2n+1)−3(n+1)}
= n(n+1)(n-1) ·()
(3) (2) より
1/13mn(n+1)(n-1) は am の選び方によらない定数
Σ{an-(n-k+1)}^は0以上の数だから, (an-k) が最大となるの
k=1
HA-HO
AHAI-AI-R
A
al-As-0=
n
は,{an-(n-k+1)}'が最小となるときである。
k=1
よって、求める数列{an} は
n
つまり, {a(n-k+1)}=0のときだから
k=1
Ak−(n−k+1)=0 ak=n-k+1
k=1
ATHUGASALHAMPIO
CADA
HO

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

たまご

内容的に数列{an}は自然数1～nまでの数を異なるように選んだものを始めの数から順に
a1,a2,a3 ... an としたものです。
例えばn＝3としたら
1,3,2とか1,2,3とか

ここで ∑(k＝1 →n) ak は
例えば、n＝3とすると1,3,2と選ぼうが 1,2,3と選ぼうが値は同じわけですから
1/3n(n+1)(n-1)という値は anによって変化したりしないということです。

飛鳥

なるほど！「順に」というのは「選んだ順」だったんですね
ありがとうございます