Question

nanatu

数学IIの通過領域です。この問題の［1］0<t<1の範囲にすべての解をもつ場合　と　［3］t=0またはt=1を解にもつ場合　を同時に求めてはいけないのはなぜなのでしょうか？［1］のときに、f(0)大なりイコール0, f(1)大なりイコール0として求めても答えは出るのではないかと思ってしまいました。回答よろしくお願いいたします

重要 例題 128 図形の通過領域 (2)
直線y=2tx-t2+1 ① について, tが 0≦t≦1の範囲の値をとって変化す
るとき,直線 ① が通過する領域を図示せよ。
指針 重要例題 127 と同様, 直線の通過領域を求める問題である。 重要例題127では、直線
y=2ax+α² のα がすべての実数値をとって変化するため, 実数解条件 (D≧0)だけで
解答
処理できたが,本問のtのとりうる値の範囲には制限 (0≦t≦1) があるため、判別式だ
けで解くことはできない。
しかし、基本的な考え方は同じで, 見方を変えて考えればよい。 つまり,逆像法で
直線 ①点 (x,y) を通る ① を満たす実数t (0≦t≦1) が存在する
と考える① について整理すると
t²-2xt+y-1-0
よって、の2次方程式 ② が 0≦t≦1 を満たす解を 少なくとも1つ) もつような
の条件を求める。
→f(t)=-2x+y-1 とし, 放物線z=f(t) が0≦t≦1の範囲でt軸と共有点をも
つような条件を調べる(「チャート式基礎からの数学Ⅰ」のか.214 重要例題 130
なお,正像法による解答は,次ページの別解のようになる。 別解 の方法では,2次関
数の最大 最小の問題として進められる分, 考えやすいかもしれない。
① を t について整理すると
t2-2xt+y-1=0 ......
THE OCEA
直線①点 (x, y) を通るための条件は,t の2次方程
式 ② が 0≦t≦1の範囲に少なくとも1つの実数解をも
つことである。
Kata $348
すなわち,次の [1]~[3] のいずれかの場合である。
②の判別式をDとし, f(t)=t2-2xt+y-1とする。
[1] 0<t<1の範囲にすべての解(*)をもつ場合
条件は
D≥0, f(0)>0, ƒ(1)>0,
軸が0<t<1の範囲にある
(−x)^-1・(y-1)≧0
D≧0から
よって
f(0) > 0 から
y-1>0
f(1) > 0 から 1-2x+y-1>0
軸は直線 t = x であるから
まとめると
y≦x2+1
f(0)(1) <0から学ぶき
(y-1)(y-2x) <0
または
ゆえに
y≦x2+1,y> 1, y>2x, 0<x<1
[2] 0<t<1の範囲に解を1つ, t<0 または1<tの範
囲にもう1つの解をもつ場合
[y>1
ly <2x
ゆえに y>1
よってy>2x
0<x<1
BEUR
[y<1
重要 127
y>2x
<t の2次方程式と考える。
[2]
下に凸の放物線。
軸は直線t=x
(*) 異なる2つの解または
重解。
[1]
0
JUMSNE
414
ID=0/
または
IC
/D>0
+

[3] t=0 または t=1 を解にもつ
場合
f(0)f(1)=0から
(y-1)(y-2x)=0
y=1 またはy=2x
よって
[1]~[3] から, 求める領域は,右
の図の斜線部分。ただし,境界線
を含む。
YA
2
11
2
x
注意 x2+1=2x とすると,
(x-1)20からx=1 (重
解) よって, 放物線
y=x2+1と直線y=2x は
点 (1, 2) で接する。

図形の通過領域

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

カルロス

数学というより日本語の問題ですが

1の
f(0)>0, f(1)>0
というのは

f(0)>0かつf(1)>0

です。

3は書いてある通りですが
t=0『または』t=1を解に持つ、
すなわち
f(0)=0またはf(1)=1
です。

まとめると、1と3は
・f(0)>0かつf(1)>0
・f(0)=0またはf(1)=0
です。

あなたが言ってるのは
f(0)≧0かつf(1)≧0
です。

違うのわかりますか？

nanatu

違いは理解できました！ありがとうございます。
ということは、f(0)＝0かつf(1)＝0になることは絶対にないからf(0)≧0かつf(1)≧0として解答してはいけないということでしょうか？

カルロス

違います。

あなたは1と3をまとめてf(0)≧0かつf(1)≧0としましたが

1と3をまとめてもf(0)≧0かつf(1)≧0にはなりません。

nanatu

質問ばかりですみません💦
1と3をまとめてもf(0)≧0かつf(1)≧0にならないのはなぜですか？

カルロス

最初の回答に書いたとおりで

1. f(0)>0かつf(1)>0
3. f(0)=0またはf(1)=0

です。

「かつ」とか「または」はという日本語の意味わかりますか？

f(0)≧0かつf(1)≧0
だと
f(0)=0, f(1)=-100
とかは入りませんが

f(0)=0またはf(1)=0
なら
f(0)=0, f(1)=-100
は入りますよね。

違うのわかりますか？

nanatu

理解できました！！！［3］の意味が分かっていなかったみたいです。ありがとうございました！