Question

りー

式と証明という内容の中の問題集、この問題がわからず教えてほしいです。なんでこの式になるかが複雑すぎてわからずオレンジ色の部分は問題集の解答を写しています。解説をお願いしたいです。

X12-2r
xr
F 6 Cr •
xC
-=x3 とすると x12-2r=x³x
両辺のxの指数を比較して 12-2r=3+r
ゆえに
したがって, x3 の項の係数は 6C3・26-3(-1)3=20・8・(-1)=-160 答
よって
△ 13 次の式の展開式における, [ ]内のものを求めよ。
(1)(x+2/12) [x2の項の係数] (2)(2ペー )
1 5
3x2
□ 14 次の□に入る数を,二項定理を用いて求めよ。
101 Co+ 101C2+ 101C4+ + 101C98+101C100=2
(2) x>0 のとき (1+x)">1+nx+hn(n-1)
xC
x12-25x3+r
2
nC2+nCi2+..+nCn²=2nCn
✓ 15 二項定理を用いて,次のことを証明せよ。 ただし, nは3以上の整数とする。
(1) (1+L)">2
n
-x²
r=3
[定数項]
発展問題
□16 11" を100で割ったときの余りを求めよ。
□ 17 等式 (1+x)*(x+1)"=(1+x)2" を用いて,次の等式を証明せよ。
01

(4STEP)
P₁8
16.11を100で割ったときの余りを求めよ。
11" = ( 10 + 1)"
"Co• 10⁰ +11C₁ 10⁰⁰°• 1 + 1 C₂ 10⁹.12
2
+ 1169 · 10².19 + 116 10 • 10 • 110⁰ + 11 C₁₁. | "
+
= 10 lco 109 trên 10 till0
+
+ ₁1 (9) + 110 + 1
10² (1160 10° +1G₁· 10⁰ + 116₂ · 10²
+ ...... + 116₁ +1 ) + 1/
11 Co - 10⁰ + 116₁ · 10° +116₂.101 +...... + 1169 +1 12h
整数であるから、求める余は1
...
•
#

Answer 1

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

(1+x)ⁿ＝ₙC₀＋ₙC₁x＋ₙC₂x²＋……＋ₙCₙ₋₁xⁿ⁻¹＋ₙCₙxⁿ・・・（＊）
の両辺にx=10,n=11を代入して,
11¹¹＝₁₁C₀＋₁₁C₁・10＋₁₁C₂x²・10²＋……＋₁₁C₁₀・10ⁿ⁻¹＋₁₁C₁₁・10ⁿ
≡₁₁C₀＋₁₁C₁・10 (mod 100)
＝1+110
≡11 (mod 100)
※　(mod 100)をとっているので,10ⁿ (n≧2)を含む項は無視します.

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

×　11¹¹＝₁₁C₀＋₁₁C₁・10＋₁₁C₂x²・10²＋……＋₁₁C₁₀・10ⁿ⁻¹＋₁₁C₁₁・10ⁿ
○　11¹¹＝₁₁C₀＋₁₁C₁・10＋₁₁C₂・10²＋……＋₁₁C₁₀・10¹⁰＋₁₁C₁₁・10¹¹