[最新版数上級プラン120 問題69]
mを定数とする。 直線x+my=2m+3 m の値に関わらず点 (3, ア
イ+ウである。
次に,m>0として, x,yが4つの不等式x≧0,y≧0,x+3y≦9, x+my≦2m+3
を同時に満たすときのx+yの最大値をMとする。
(1) m=1のとき, M=エである。x+y=エとなるときのx,yの値は。
x=オリ=カである。
(2) の値の範囲が0<m≦キのとき,の値に関わらずMエである。
の値の範囲が3<m のとき, m の値に関わらずM=クであり, x+y=ク|
値は,x=ケ=コである。
m の値の範囲がキ <m<3のとき, M の値は の値によって変化する。 このとき, Mがとりうる整数値は
サ
個あり, Mが最小の整数値をとるのは, m=
(ア) 2
(ク) 9
(イ) 2
(ケ) 9 (コ) 0
(エ) 5
(オ) 3
シ
ス
を通る。また、この直線のx切片は
(ス) 2
のときである。
(カ) 2 (キ) 1
となるときのx,yの
x+my = 2m +3 ······ ① とする。
①をmについて整理すると (y-2) m+x-3=0 D
m の値に関わらず ① が成り立つための条件は y-20 かつx3=0
ゆえに x=3. y=2
よって、直線①は の値に関わらず点(3, 2)を通る。
また、 ① に y=0を代入すると x=2m+3
ゆえに,直線①のx切片は 2m +3
次に,与えられた4つの不等式が表す領域をDとし, x+3y=9② とすると、 直線②は点 (3,2)を通る。
x+y=k….... ③ とおくと, y=-x+k より, ③は傾き 1. y切片kの直線を表す。
直線 ③ が領域 D と共有点をもつようなk の最大値が M である。
(1) m=1/12 のとき, ① は x+1=12/23
すなわちy=-4x+14
よって、このときの領域Dは図] [1] の斜線部分である。
ただし、 境界線を含む。
図 [1] から, kの値は、 直線③が点 (3, 2) を通るとき最大
となる。
ゆえに, M=5であり,このときのx,yの値は
x=3. y=2
+3について 2m +3>3.
0であるから、直線①のx切片2m
(2
よって
図 [2]から､3<2m+3≧5のとき,の値に関わらず M5 となる。
2mm +35 から 2m ≤2
1
ゆえに, 0
1のとき,
また, 3<m のとき 9<2m +3
このとき, 図[3] から,kの値は、直線③が点 (9, 0) を通るとき最大となる。
ゆえに, 3m のとき,の値に関わらずM=9であり,このときのx,yの値は
x=9, y=0
[2]y①
2
M=5である。
の値に関わらず
[3]y.
2m+3
1<m3のとき, [4] から, の値は、直線③が
点(2
+3,0)を通るとき最大となる。このとき
M=2m+3
1<m≤3より, 52m +39 であるから, Mがとりう
6,7,8,9
の4個あり, M=6のとき2m +3=6から m=7
#
3
2
2m +3
[4]y↑
0
2m +3
3 5
2m +3
2
(2)
