✨ ベストアンサー ✨
まず一つ目のご質問についてです。ここでは数列anをa(n)のように書かせてもらいますが
例えば、a(n)=cos(nπ) という数列を考えたとき、これは
-1, 1, -1, 1, -1, 1, …
-1と1が交互に現れる数列なので
奇数項の極限 lim a(2n-1) =-1 (n→∞),
偶数項の極限 lim a(2n) =1 (n→∞)
で一致しません。a(n)も収束しません。
この例からわかることをまとめると
・偶数項、奇数項がそれぞれ収束するとしても、
奇数項の極限＝偶数項の極限
となるとは限らない
・偶数項と奇数項がともに収束するとしても、元の数列が収束するとは限らない。
ですが、次は正しいです。
『 a(n)を数列とします。a(2n-1), a(2n)がともに収束し
lim a(2n-1) = lim a(2n) （n→∞）
を満たすならば、
a(n)も収束し、
lim a(n)= lim a(2n-1) (= lim a(2n)) (n→∞)』
ご質問の問題ではこれを使ってます。
（く）の左辺のnCnDnをE(n)とさせてもらいますが、模範解答では
『lim E(2n) = π/2, さらにlim E(2n-1) = π/2
だから
lim E(n) = π/2』
とやっています。
で、何故そうやっているかというと、問題の流れを振り返ってみると
（え）、（お）がわかった
↓
（え）、（お）から（か）と（き）がわかった
ときて、（く）を求めろときてるわけですよね。
流れ的に、これは（か）と（き）を使って（く）を求める感じですよね。
ですが、（か）と（き）からそのまますぐには（く）は出なさそうだなぁと。
で、イヤなとこはどこかというと、（く）の左辺のCとDの添字はCnDnとnで揃っているのに対し、
（か）と（き）の添字は、
（か）のCの添字は2n, Dは2n+1、
（き）のCの添字は2n, Dは2n-1、
と、Cの添字とDの添字がずれてるんですね。
nCnDnの極限を求めたいわけですが、添字がずれてる状況だと、nCnDnの極限を求めるのに（か）や（き）は使いにくいと。
なので、添字を揃えたいわけですが、もしnで揃えられたらCnDnとなるので、nをかけたらnCnDnとなりn→∞とすれば終わるので嬉しいわけですけども、nで揃えるのは厳しそうだと。
ではどう揃えるかですが、
（か）のCの添字は2n, Dは2n+1、
（き）のCの添字は2n, Dは2n-1、
とCの添字はどちらも2nで、Dのほうは2n+1, 2n-1 なので、まずは2nで揃えてみようかなぁと。
2nで揃えられたらlim E(2n) を計算して、その後に今度は添字を2n-1で揃えてlim E(2n-1) を計算すればうまくいくかなぁと。
こんな感じの流れかと思います。
なので、黄色部は何かというと
E(n)の極限を求めたい
↓
が、直接E(n)の極限を求めるのは厳しい
↓
E(2n)の極限とE(2n-1)の極限をそれぞれ求めよう
↓
まずE(2n)を求める。π/2だった。←ココが黄色
だと思います。
丁寧に解説してくださってありがとうございます🙇🏼
理解出来ました！