第2問~第4問は,いずれか2問を選択し、 解答しなさい。
第4問 (選択問題) (配点20)
st
kを正の定数とする。 座標平面上に3点O(0, 0),A(1,√3), B(0, ) があり、点
Bを通り直線OAに垂直な直線ℓ上に点P(x, y) があるとする。
このとき, BPLOAであるから, OP-OA=
ア
の方程式は x+
ウ k=0 である。
点Pの座標をy, k を用いて表すとP(-√イ
∠AOP=60°のとき, 点Pの座標は
である。
イ
I
k,
ly
-
オ
または
カ
ク
TORE
よって, 直線l
である。
y+. ウ
キ
-k,
k, y) である。
ケ
コ
k
(数学ⅡⅠ・数学B 第4問は次ページに続く。)
EV-CABLES) 0
以下,P
-1980Q=
タ
ク
このとき, OP と平行な単位ベクトルのうち, x成分が正であるものをOQとする
と
の解答群
キ
サ
⑩ s≧0, t≧0
O
②
s≧1
④t≧1
-k.
ケ
ス
コ
k とする。
ソ
である。
OCOA+OQ とし,右図のように,平面を
4 直線OA, OQ, AC, QC で9つの領域に
分割する｡
| s, tを実数として OR =SOA+tOQ とする
とき, 点Rの存在範囲が右図の影をつけた部分
のとき
(境界線を含む) と一致するのはタ
である。
t
yt
AX
XQ
①
3 0≤s≤1, 0≤t≤1
⑤ s≧1, t≧1
C
s≧0, t≧0,0≦stt≦1
②
よって
第4問 BP HOA であるから
よって
ゆえに OP OA=OB QA
したがって OP・OA=√73k/
すなわち
よって、直線ℓの方程式は x+√13y-√3k=0
これより,x=-√3y+√3k であるから,点Pの座標をy, kを用いて表すと
P(-√3y+√3k, y)
∠AOP=60° のとき OA・OP=|OA||OP|cos 60°
(OP-OB) ・OA=0
よって
BP.OA=0
√3k=√1+(√3)2×√x2+yex. 2
ゆえに √√√3k=√x² + y²
k>0 であるから, 両辺を2乗すると 3k2=x2+y2
x=-√3y+√3k より 3k²=(-√3y+√3k)²+y2
3k²=3y²-6ky+3k²+y2
とつかえるように
B含んだベクトルにする
ゆえに 2y(2y-3k)=0
y=0 のとき, x=√3k であるから P(√3k, *0)
y=12/21k のとき、x=1/12/2k+√3k=-kであるから
x+√3y=√3k
=+
(Q
したがって y=0.12.2k
P(-1/24k, 12/21)のとき、10Pl=vx+y=/3kであるから, OPと平行な題
位ベクトルは
OP
1/22)=(1/2土) (税号同期)
/3k
ゆえに
OQ=(-1, ²--/-3)
シ2'
s,t の条件が①~⑤のとき,点Rの存在範囲はそれぞれ次の影をつけた部分に
なる。ただし, 境界線を含む。
0
y₁
①
XXXX
-6-
→
BPLOA
より
- BP-DA = 0
(2-0, 4-k) - ( 1₁ √3)= 0
(x, y-k)-(1,5) -.0
ス+Fs(y-k)=0
x+54-551-0
P
IB
60°60°
10
大きさ 1のベクトルを
単位ベクトル」
pointa(キア)の単位ベクトルは
土
A.
a
121
0
・A
.P
扉=SOA++OB
stt=1のとき直線AB
ostt=1、s≧0、+線分AB
\d stt ≤ 1, s20, 2² Oct
△OABの周および内部
0€5€ 1₁0€t≤1
From a CB₁
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