Question

の ん .

答えや解説を見ても分からないのでもう少し詳しく解説してくださる方がいましたらお願いします🙇🏻‍♀️

重要 例題29 ユークリッドの互除法と1次不定方程式
(1) 不定方程式 161x+19y=1を満たす整数x,yの組の中で, xの絶対値が最|
①小のものはx=アイ,y=ウエである。
(2) 不定方程式 161x+19y=5 を満たす整数x,yの組の中で, xの絶対値が最
a
大量
小のものはx=オ,y=カキクである。
POINT !
1次不定方程式の整数解の1組が容易に見つからない場合は,
ユークリッドの互除法を用いる。 (
51 参考)
(2) (1) の等式の両辺を5倍すると 161(5x) +19(5y)=5
よって,(1) で見つけた整数解の1組をそれぞれ5倍したものは
161x+19y=5の整数解の1組である。
解答 (1) 161x+19y=1
161=19.8+9
19=9・2+1
この計算を逆にたどると
1=19-9・2
01-
=19-(161-19・8)・2
=161・(-2)+ 19・17
① とする。
移項すると 9161-19・8
移項すると 119-9・2
......
(2-8-) (ar-
したがって
161・(-2)+19・17=1
① ② から 161(x+2)+19(y-17) = 0
161 と 19 は互いに素であるから、③より
......
(2) 161x+19y=5
②から
④ - ⑤ から 161(x+10)+19(y-85)=0
161 19 は互いに素であるから, ⑥ より
..... (2)
x+2=19k, y-17-161k (kは整数)
よって
x=19k-2, y=-161k+17
|x|が最小となるのはん=0のときであるから
x=アイ- 2,y=ウェ17
④ とする。
161・(-2.5)+19.(17･5)=5 ...... ⑤
⑥
1s)(3)
③
xの係数 161 とyの係数
19 にユークリッドの互除
法の計算を行う。
6518-5
x+10=19l, y-85-1617 (Zは整数)
よって
x=191-10, y=-161+85
|x|が最小となるのはl=1のときであるから
x=オ9, y=カキクー76
◆余りが1になったところ
で,計算を逆にたどる。
0
← ① を満たす 1組の解
01-x=-2,y=17 が得られる。
al-
a
I
& meroun
SHOR
H.260
•②×5 とすると, ④ を満た
す1組の解x=-10,
|y=85 が得られる。