Question

ありんこ

この問題の(2)でなぜb=a100+3/4で整数部分と見なすことができるのか教えてください

問題7
数列{an} は a1 = 3, a2 = 18
an+2 - 6an+1 +5an=0(n=1, 2, ‥‥‥)
をみたすとする。
□(1) 一般項 an を求めよ。
☐(2) a100 は何桁の整数か。必要ならば10g10 2=0.3010, log10 3 = 0.4771 を用いてよい。

96
(1)
は
後期第7回 数列(3) (解答)
an+26an+1 +50 = 0
an+2an+1=5(an+1-an)
an+2 - 50n+1=an+1-50m
と2通りに変形できる。
① と a1 = 3,02 = 18 より, 数列{an+1 - an}は,初項
Q2 Q1 = 15,公比5の等比数列なので,
an+1 - an =3.5" ...... ③
② と a1 = 3, a2 = 18より, 数列{an+1 - 5an}は,初項
a25a1=3の定数数列なので、
an+1-5an=3
は
③ - ④ より ,
4an = 3(5"-1) ⇔ an =
首位
(2)(1)より,
log10blog10 22
..... ①
......2
a100 =
3.5100-3
4
3
4
3.5100
4
ここで100 は整数であるから, 4100 の桁数はb=100 +
の整数部分の桁数と一致する。 よって,
3.5100
70 桁 ......(答)
・･・・・・・(答)
10^-1 <a100<10+1
3(5-1)
4
.9
= log10 3 +100l0g105210g10 2
= log10 3 +100(1-log102)210g10 2
0.2751
= 0.4771 +100(1-0.301)-2x 0.3010
= 69.7751
69≦log10670 だからもの整数部分は70桁。 従って 100
よって,
an+2an+1 = an+1 - an-3
1
||
問題8
【指針】
3項間漸化式 an+2-2an+1+an=k(k≠0)のタイプを,階
差型の漸化式に書き換えることにより解こうという問題です。
【解答】
(1) ②
問題9
【指針】
an+1
ます。
【解答】
bn% と
回
の食塩
よく
食塩
るから
a
次に
食塩
るから
b-
① -
数列て
問題 1
【指針】
分数
が2解
(i)
(ii)

Answer 1

豌豆

●そもそもの動機として、ａ[１００]＝３×５^１００／４－３／４のようにマイナスがあるとｌｏｇの計算がうまくできない！という問題があります。そこで、なんとか工夫しようということになります。

続いて、感覚的な話ですが、３×５^１００／４に対して３／４＝０.７５は「無視できそう」なくらい微々たるものです。
この「無視できそう」というのをもう少し具体的に言うと、ａ[１００]に３／４＝０.７５を足しても桁数には影響がない、つまり「ａ[１００]の桁数＝ｂの桁数になりそう」ということです。

で、無視してよい(ａ[１００]の桁数＝ｂの桁数)ことが分かれば、ａ[１００]の桁数を計算する代わりにｂの桁数を計算すればよいことになります。
(ｂは×、÷しか出て来ないのでｌｏｇの計算ができる！)

●さて、「正の」整数に対して小数(今回の場合は０.７５)を足しても整数部分の桁数は変わりません。
これは具体例を考えてみればよくて、例えば何でもいいので２桁の数をイメージしてみると、その数に０.７５を足した数も２桁です。
例）９９＋０.７５＝９９.７５の整数部分はやっぱり２桁。

この性質は１桁だろうと１００桁だろうと成り立ちます。

よってめでたく、ａ[１００]の代わりにｂの桁数を計算すればよいことが分かりました。

※ちなみに「負の」整数に対しては上の性質は成り立たないです。例えば、－１００は３桁ですが、－１００＋０.７５＝－９９.２５は２桁に変わってしまいます。