Question

Hr

①②の導き方は分かりません！解説お願いします🙇🏻‍♀️

第4問 (選択問題)(配点20)
(1) 1,2,3,4,5 を並べてn桁の整数をつくる(nは自然数)。これらのn桁の整
数のうち,2または4である位が偶数個ある整数の個数をan,奇数個ある整数の個
数を bm とする。ただし,一個も含まれていない場合は,偶数個含まれていると考え
るものとし、同じ数字を繰り返し用いてもよいものとする。
α1=3, b1=2であり
a2=アイ, b2=| ウエ
である。
次に,(n+1) 桁の整数について考えてみよう。
(n+1) 桁の整数は, n桁の整数の右端に一つ数を付け加えたものと考えることが
できる。例えば, n=3の場合、3桁の整数 123の右端に4を付け加えると, 1234
という4桁の整数をつくることができる。
このことを利用すると
an+1=
である。
bn+1=
=
オ
キ
an+bn
an+
an+
サ
カ bn
が成り立つ。
①,②を同時に満たす数列{an}, {bn}の一般項を求めよう。
①,②の辺々を加えると
an+1+bn+1
ク
ケ(an+bm)
となり,数列{an+bn} は初項 コ
bn
公比
ケ
の等比数列であるから
·②
(数学ⅡⅠ・数学B 第4問は次ページに続く。)

第4問 数列
1,3,5 2,4
(1)=2のとき、1~5を並べた2桁の整数は全部で25個できる。 5'225
このうち,2または4である位が1個だけある数は
2×3×2=12 (個)
2または4である位が0個または2個ある数は25-12=13 (個)
ACES
よって a2 = 13,62=12
次に, an, bn, an+1, bn+1 の関係を調べる。
(n+1) 桁の整数のうち,2または4である位が偶数個ある数は,次のい
ずれかによって得られる。
XC**
(i) n桁の整数のうち、2または4である位が偶数個ある数の右端に,
1,3,5のいずれかを付け加える。
an
この場合の個数は an×3=3an
(i) n桁の整数のうち, 2または4である位が奇数個ある数の右端に,
2,4のいずれかを付け加える。
ban
この場合の個数は 6×2=26
よって an+1=3an+26n
bn+1 についても同様に
bn+1=2an+36
① + ② より
an+bn=5" (1)
また, ① - ② より
an+1+6n+1=5(an+bn)
α = 3, b1=2であるから a1+b1=5
よって,数列{an+6m} は初項 5,公比5の等比数列であるから
an+b=5.5"-1
･･・･･･・ A
an+1-bn+1=an-bn
......
an
①
=
(株)
**
B
a-b1=3-2=1
であるから、数列{an-bn} はすべての項が1である。
すなわち an-bn=1
③ ④ より
5+1 (0), b. = 5"-¹ (0)
(①),
bn=
(①)
2
2
1個も含まれていない場合は
偶数個含まれている。
(
す
a123'
1-3 1-3.
b1=2
・1かろから
げる
Sha
2か4
数学化する力
(n+1) 桁の整数のつくり方と
式の形が問題文に書かれている
の意味を理解して, 条件を満た
数の個数をα やb" で表すこ
at an x bn
考える。
tric
0
[A]
等比数列の一般項
初項a,公比rの等比数列{an}
般項は
an=arn-1
B
an+b は、1~5を並べてでき
桁の整数全体の個数を表すから
れは 5個。 よって, an+bn=
求めてもよい。