DSAKEN
②から
ゆえに
b=-√3のとき α=
(a,b)=(-2√3/3), (23, -√3)
練習 (1) 長方形 ABCD と同じ平面上の任意の点をPとする。このとき, 等式
②72
PA2+PC2=PB2+PD2 が成り立つことを証明せよ。
(2) △ABCにおいて, 辺BC を1:3に内分する点をDとする。このとき、
3AB2+ AC2=4AD2 +12BD が成り立つことを証明せよ。
(1) 直線BC をx軸に, 点Bを通り直線BC に垂直な直線を
軸にとると, B は原点になり, A(0, a), C(b,0), D (6,α) と
表すことができる。このとき,P(x,y) とすると
PA²+PC²=(0−x)²+(a−y)²+(b−x)²+(0−y)²
=x²+(y—a)²+(x−b)²+y²
PB2+PD²=(0-x)+(0-y)²+(b-x)+(a-y)^
=x²+y²+(x−b)²+(y—a)²
PA2+PC2=PB2+PD2
(4
したがって
48-74
別解 A(-a, b),B(-α, -b),C(a, -6), D(α, b) とすると
PA2+PC2=(-a-x)+(b-y)²+(a-x)+(-b-y)^
=(x+a)²+(y−b)²+(x−a)²+(y+b)²
PB²+PD²=(−a—x)²+(−b−y)²+(a−x)²+(b−y)²
=(x+a)^2+(y+b)^+(x-a)^²+(y-b)²
(2) 直線BC をx軸に点Dを通り直線BCに垂直な直線
をy軸にとると,Dは原点になり, A(a,b), B(-c, 0),(
C(3c, 0) と表すことができる。 よって
3AB'+AC²=3{(-c-a)^+(-b)^}+(3c-α)²+(-6)^
=3c²+2ca+α²+62)+9c2-6ca+a²+62
=4m²+462+12c2=4(a²+b2+3c2)
4AD2+12BD2=4{(-a)+(-6)^}+12c2
= 4(a²+b²+3c²)
②
......
①
① ② から
3AB²+AC²=4AD²+12BD² =(1-9-
検討△ABCにおいて、辺BC を m: n に内分する点をDと
‡¾¢_nAB²+mAC²=(m+n) (AD²+
n
+ -BD2
m
が成り立つことが同様にして証明できる。
特に,m=n=1のとき、 次の中線定理 が成り立つ。
AB²+AC²=2(AD²+BD²)
AD
←
A
C
