Question

キラ

2番の接点以外の共有点を求める問題で、
３次式なので解が３つ出て、そのうちの一つが、X＝1なのは分かるんですが、なぜ、X＝1の時重解を持つと言えるのですか？
あと、組み立て方式で計算すると、Xが-1/2ではなく1/2が出てしまいます。

428 3次関数y=2x-3x²-12x について,次の問いに答えよ。
(1) この関数のグラフCの x=1における接線l の方程式を求めよ。
(2) Clとの接点以外の共有点のx座標を求めよ。
20
(3) Clで囲まれる部分の面積を求めよ。
〔類 17 摂南大]

420
3次曲線と接線とで囲まれた部分の面積
Key Point [157
(1) y'=6x2-6x-12
よって, x=1 における接線l の方程式は
y-(-13)=-12(x-1)
ゆえに y=-12x-1
(2) 2x3-3x2-12x=-12x-1より
2x3-3x2+1=0
左辺は(x-1)を因数にもつから
(x-1)2(2x+1)=0
\e
ゆえに x = 1,
したがって、 接点以
外の共有点のx座標
1
は
2
x=
→
1
2
-1/2
- 17/12
=f'(2x3-3x2+1)dx=
y
0-
=
1
2
(3) 右の図から、求め
る面積をSとすると
S=S'{(2x-3x2-12x)(−12x-1)}dx
0
2
S
1
+x]
-x3+x
17/12

1
-1
2-1 10
12-3
2
(2x-1)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

たまご

まず、x=1がなぜ重解を持つと分かるのかについて
3次関数だと3重解をもったりしないので、いまいちグラフと直結しにくいので二次関数で考えてみましょう
例えばy=x^2+2x+1とx軸との交点のx座標を求めよという問題があったとしましょう。
x軸と交わるときの二次関数のy座標はy=0なので、x^2+2x+1=0
左辺を変形すると(x+1)^2=0 すなわちx=-1であることは明白です。
ですが、xのうち最大の次数のものはx^2なので、解は必ず2つあるはずです。(例えばx^3+…=〇だと必ず解は3つ)
それにもかかわらず、解が1つなのはおかしいですよね？
そこで解2つをx=-1という同じ解をもつと考えてやると辻褄はあいます。
すなわちx^2+2x+1=0はx=-1という解を2つもつとも言えます。
これを3次関数で考えてやると、実際は解は2つだけど、x=1という解を2つもつとみると解は3つなので辻褄があいます。
また組立除法については2x^3-3x^2+1 でxの1次の次数がないので
組立除法は 1 」2 -3 0 1
2 -1 -1
2 -1 -1 0
すなわち(2x^2-x-1)=(2x+1)(x-1)となります、

キラ

めちゃくちゃ丁寧な解説本当にありがとうございます。
助かりました‼︎