✨ ベストアンサー ✨
①というのは、「n=kのときに(*)が成り立つ」ということと同じ意味です。つまり、「n=kのときに(*)が成り立つ」ということは「①が成り立つ」ということです（なので、「成り立つとすると〜」で①を書いて終えてしまうと、①がどのような意味を持っているのか不明瞭になってしまいます）。
数学的帰納法の原理を確認しておきましょう。なぜ数学的帰納法が成り立つかという話は大学数学になってしまいますので措いておきますが、数学的帰納法とは、ある種のドミノ倒しだと考えてください。
「∀n∈N;p(n)⇔p(1)∧(∀k∈N;p(k)⇒p(k+1))」ということですが、証明すべきことは
①最初のインデックス（たとえば、自然数ならn=1）で成立する
②一般に、p(k)が成立している（つまりn=kのとき）ならば（成立していない時は考えなくて良い）、p(k+1)が成立する（つまりn=k+1のとき）
このふたつです。喩えるならば、①は「最初のドミノを倒す」、②は「前のドミノが倒れたなら、次のドミノが倒れる」というような感じでしょうか。
さて、ご質問の件ですが、①のkにk+1を代入すれば成立することは理解できます、というのは間違いで、寧ろその成立することを示すのです。つまり、今回の場合であれば、「n=kのとき(*)が成り立つ→①を変形していったら1+3+...+2k+1=k^2になる→n=k+1のときも(*)が成り立つ」が正しい証明の筋道です。
青線部に関しては、①の等式が成り立っているとしている訳ですから、その両辺に同じもの（2k+1）を足しても等号が成立する、というだけの話です。つまり、①の両辺に2k+1を足したものだと考えてください。これがk^2+2k+1となることから、「なんと(*)でnにk+1を代入したものになってしまったからこれは成り立ってしまう！」というのがその後の流れです。
なぜこの式変形をしたのか、は数学的帰納法を成り立たせるため以外の何物でもないですから、やや天下り的に与えられたものとなります（示すべき形が見つかっているので両辺に2k+1を足すという発想は自然な部類ではありますが）。最後の質問の意味がやや分かりかねますが、①を用いてn=k+1のときの(*)の成立を示しているので、①を用いれば〜となるという主張はウソではありません。ただ、問題の趣旨としてはバツにされるでしょう。
nにk+1を代入した時に成り立つことを示したいのであって、nにk+1を代入することは本来許されないことをまず認識してください。これは単に方程式などで値を代入するのとは訳が違います。示すべき命題(*)は「まだ示されていない」のですから、(*)でnにk+1を代入した式は「使ってはいけない」ことに注意しなければなりません（使ってはいけないというのは、左辺だけとか右辺だけとかの形を作ることは良いですが、イコールで結んでしまうと、その瞬間に「それが既に示されている」ことを意味するのでダメだということです）。
そこで、「n=k+1のときの(*)の等号が成り立つことを示したい」のですから、今回の式変形では「n=k+1の(*)の左辺」をまず作り、それを「n=kのときの(*)」（これは成り立っていると仮定している）を用いて式変形したら「n=k+1のときの(*)の右辺」になってしまう、よって「n=k+1のときの(*)の左辺」＝「n=k+1のときの(*)の右辺」となる、という示し方をしています。ですから、もし2k+1だけを単独で見てどこから来ているのか分からないと仰っているのであれば、式の見方がそもそも見当外れということになります。その場合はむしろ、「全く新しい式変形として、1+3+...+2k+1を変形していく」という考え方をしてみてはいかがでしょうか。なお、1+3+...+2k+1がどこから出てくるのか、ということであれば、(*)にn=k+1を代入した「左辺」であるというのが答えになります。決して(*)にn=k+1を代入したそのものではないことに注意してください（なぜなら、(*)はまだ成立が保証されていない式なので勝手に代入してイコールで結ぶなど許されないからです）。これは別に右辺からアプローチしても良いのですが、今回は左辺からやった方が楽だというだけです。
一般にA=Bを示したい（つまりこれはまだ未成立）ときには、A=...=C=...=Bとするとか、A-B=...=0とするとかの手法がありますが、今回はその前者を用いたものと考えてはいかがでしょう。
左辺、右辺をそれぞれ同じ形にもっていく、そのために仮定されている①を用いているのですね。そもそも根本的な考え方が分かってなかったです、、
詳しく説明してくださりありがとうございました！！
解決したようで何よりです。
①の等式が成り立っている。だから両辺に同じもの（2k+1）を足しても等号が成立する、というだけの話
↑これは分かりましたが、どこから2k+1がくるのですか？nにk+1を代入してるんじゃないんですか、？