数学
高校生
[1][2][3]の変域のところで[1]と[3]は理解できます。[2]はなぜこのような変域をとるのかがよくわかりません。
基本例題213 係数に文字を含む3次関数の最大 最小
00000
aを正の定数とする。 3次関数f(x)=x-2ax²+ax の 0≦x≦1における最大
値M(α) を求めよ。
指針▷文字係数の関数の最大値であるが, 0,320の甘す
.
[類 立命館大]
基本 211
重要 214
33
O
は、とにかく
がらくになるよ
する。
の定理
で表す。
変域の周
指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.329 の基本例題211と同じ要領で, 極値と区間の端
での関数の値を比べて最大値を決定する。
f(x) の値の変化を調べると, y=f(x)のグラフは右図のようにな
る(原点を通る)。ここで,x=1/3以外にf(x)=f(1/3)を満たす
(これをαとする) があることに注意が必要。
解答
f'(x)=3x2-4ax+a²
= (3x-a)(x-a)
f(x)=0 とすると x=
a
よって、1/14 (1/18 <a)
a
合分けを行う。
4
f(x) = 2/7 a³ +²5
-αから
[2]
a>0であるから, f(x) の増減表
は右のようになる。
a
3
a
3
<α が区間 0≦x≦1に含まれるかどうかで場
a
噴 [1] [1] 1</1/37 すなわちa>3のとき
a
9
[Z[3]_0<a<1
以上から
3
4
...
f'(x) +
8/3/0
H) ($1.
ここで、x=1/3以外にf(x)=を満たすxの値を求めると
4
x³-2ax²+a²x-a²³=0
≦a≦3のとき
a
|極大
a
4
ゆえに (x - 2)²(x - 13/²-a) = 0
3
したがって, f(x) の 0≦x≦1における最大値M(α) は
f(x) > 4
27
·a
[命館大]
27
xキ
=1/3であるからx=
2011/14 すなわち 223のとき (a) = (C)
≤1≤
≦a≦3のとき
3
4
3
M(α)=f(1)
3
/ / a <1 すなわち0<a<-
<1のとき M(a)=f(1)
4
0<a<2,3<a のとき
a
=x(x-a)^2 から(x)
a
0 + |ƒ( ²² ) = ²/3 (-²33 a)² = 277ª²ª
4
-a³
極小
[1] YA
基本 211
M(a)=a²-2a+1
CAME
*[[+p=40
M(a)=7a³
27
M 4300²
()
y
0
42
f(x)=x(x2-2ax+α²)
[2] YA
[3]
O
279³
0
重要 214
1
a α x
YAHO
-a²-2a+1
x 02で割り切れる。このことを利用して因数分解している。+ℓ
ne+ pd-p=(D) 330
\7
11
1 a
最大
3≥1> [S]
1
43
a
-最大
Coa²-2a+1
10a
3
a
ハ
A
1 a 4
3
o+l>p=I
LIN
I
14-3
最大!
x
a
a 4 1
6章
37
16>S
最大値・最小値、方程式・不等式
10
4
a
注意 (*) 曲線 y=f(x)と直線y=2121743 は、x=1/1/2の点において接するから, f(x) - 12/27は
BL
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