数学
高校生

(2)の問題です
この証明にどこか間違えているところはありませんか?
(字が読みにくいですが…)

Q Focus 練習 [104] ** 命題と対偶 直接証明するのが難しい場合は、利用して証明する。 (1) もとの命題の対間は、 「整数nについて、 nが3の倍数でないならば、 2は3の倍数でないので、を整数として, n3k+1 または、n=3k+2 例題104 ついて、次の問いに答えよ、 命題「整数々について、が3の倍数ならば、nも3の倍数である」 に (2) 対偶を証明することにより、 命題を証明せよ。 (1) この命題の対偶を述べよ。 n=3k+1 のとき、 n²-(3k+1)ª =9k² +6k+1 =3(3k+2k)+1 n=3k+2のとき、 n² (3k+2)² =9k²+12k+4 も3の倍数でない」 3 =3(3k²+4k+1)+1 ここで、3k2+2k, 3k+4k+1は整数であるから, nは3の倍数ではない. よって, 対偶が証明されたので、 もとの命題も成り 立つ 命題と証明 ***** n² →nth bn-n² の方が扱いやすい。 「3の倍数」 は 3k(k は整数)と表せ、 「3の 倍数でない整数」 は、 3k+1.3k+2 と表せ る. 第3章 3k² +2ks, 「3k²+4k+1」が整数 であることを必ず書く。 対偶証明法もとの命題のかわりに対偶を証明する 「3の倍数でない整数」 は, 3k-1, 3k+1 (kは整数)と表せる。 このとき, n²=(3k±1)²=9k² ±6k+1=3(3k±2k) +1 (複号同順) となり、3k2k は整数であるからn²は3の倍数ではないとして示すこともできる. 注》〉対偶証明法は,数学的に明らかな命題や、扱いにくい条件を含む命題などの証明に有効 である. 整数 α, bに関する次の命題の対偶を述べ、対偶を証明することにより、次の 題を証明せよ. (1) α² が2の倍数ならば, aも2の倍数である (2) d'+62 が3で割り切れるならば,α, bはともに3で割り切れる (3) 積αbが4の倍数ならば, αまたは6は2の倍数である 120 p. 208 11 12
THE E (2)対象「a,bの少ない力が3で割り切れないならば、athも3で割り切れ ロ] ある整数を用いてを表すと、a=3k+1.3k+2. b=3L aが3で割り切れなくご bが3で割り切れる場合(片方が3で割り切れない場合) 2 (3k+1) ²+(3L)^²=9k+6k+9L+1 a²7b² ath²=(3k+2)^²+(3L)=9k^2+12k+q+4=3(3+4+2+1)+1 ③+2K+3/23k+4k+3+1は整数だから ①、②は3の倍数ではない。 [] aとb どちらも3で割り切れない場合 aとbをある整数k.Lを用いて表すと. 3k+1 3k+2 b=3L+1.3L+2 @a² tb² = (3k+1) ³² + BL+1)² = 9K²+6k+9L² +6L+2 = 3(³K²+²k+ 12² 72²) 12²² a²7b² = (³k fl)² + (5L + 2)² = 9/²16k+9L² f/2L + 5 = 3( 3k ²7²k +32 ² +4L+1 ) + 2 @ath² = (k+R) ²7 (3L + 1)² = 9k² +/²k+9L²7 6 [+5 = 3(3K²74k t3L²³+₂L+1) + 2 ④ 4a²7b² = (³k +²7 +(3L+2)² = 9k² +1²k+92² +1²L + 8 = 3( ³K²+4k 732² +4L+²) +2 3K²+²/+3L²+2L 3K²+2k+ 3L²+4L+ | 3K²+4/+3[² +2 L +/- 3K²+4/+3L²74L+2 は整数だから、 6 = 3(³K²+ ²k+3L²)+L ①~④は3の倍数ではない。 [□]・[[]]より、対偶は真である よって、命題は素である。 . 数ではない」
命題と対偶

回答

✨ ベストアンサー ✨

間違っているところは特にないと思います。
強いて言うなら[1]の場合を考えるとき、bが3で割り切れてaが3で割り切れない場合も本当は考えないといけないんですが、めんどくさいので、最初に「aとbの対称性より、aが3で割り切れて、bが3で割り切れない自然数としても一般性を失わない」と書いておけば、その場合を考えなくても良くなります。

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