Question

シャイニ－

(2)では|r|>1としてるのに(3)では|1/r|>1としていないのは何故ですか？
又、(2)の[1]おいてr<-1において振動するのに1<rと同じようになぜ極限0に収束とできるのですか？

194 は定数とする。 次の数列の極限を調べよ。
(1) x>0 のとき {21}
(3) r≠0 のとき {}
第1節 数列の極限 53.
*(2) アキ±1のとき {}}

=8
+3
)"
0+3
1+0
の必要+
0
必要+
は定数とする。 次の数列の極限を調べよ。
別解 与えられた数列が収束するための必要十分
条件は
_1<1+2x$1
-1<1+2x+5
ゆえに
1+2x S1 から
よって
1+3x
1+2x
(3x+1)(2x+1) > 0
x<-12-1/2<x ...... ①
2'
ゆえに
x-1, -1/2<x
① ② の共通範囲を求めて
x-1,-13<x
2 与えられた数列が収束するための必要十分条
件は
|-1<x²-5x+5から
よって
ゆえに x<2, 3<x
ゆえに
x=0 または -1<x²-5x+5≦1
ゆえに
よって,
1
(x+1)(2x+1)≧0かつ xキー
+--/-/-
ゆえに
x2-5x+5≦1 から
よって
(x-1)(x-4)≦0
ゆえに 1≤x≤4 ...... ②
① ② の共通範囲を求めて
(x-2)(x-3)>0
よって,
[2] r=1のとき
1+x
1+2x
194 (1) [1] 0<r<1のとき
limy"=0
1≦x<2､3<x≦4
したがって 求めるxの値の範囲は
x=0, 1≦x<2,3<x≦4
→○○
[3]>1のとき
limy"=1
1
lim
#100 2+r"
>O
20
1
1
lim
=
+00 2+r" 2+0 2
に収束する。
lim 7" = ∞o
819
x2-5x+60 ) 2
11/23 に収束する。
1
lim
100 2+r"
......
x2-5x+4≦0
=0
= 2+1=1 /
7
第1節 数列の極限 53•
(+2)
よって, 0に収束する。
(2) [1] >1 すなわちく1.1 <rのとき
| = | < ₁
<1であるから lim (-)=o
=0
ゆえに
r" +2
lim
#-+y"-1
ゆえに
=lim
** W
よって, 1に収束する。
[2] <1 すなわち -1<r<1のとき
lim" = 0
数列
1+2(-)*
¹-(²-)*
y" +2 0+2
lim
#-007"-1 0-1
よって, -2に収束する。
-
1
=
1+0
1-0
(3) ÷1=(1)
***
[1] | <1 すなわち r<-1, 1<rのとき
lim=lim()"=0
よって, 0 に収束する。l
[2] 12 = 1 すなわち=1のときの
/ S
lim ===
·=1
-=-2
-63
=1
よって 1に収束する。
[3] 12 1 すなわち0<x<1のとき
lim=lim()* = ∞
=8
よって,正の無限大に発散する。
[4] 12-1 すなわち -1<0のとき
は振動して,極限はない。
195 与えられた数列が収束するための必要十分条
件は
≤1
p>0よりx+2p>0であるから,不等式の各
辺にx2+2p を掛けて
x-2<x≦x2+2p
x-2<xから x2+x+2p>0
x≦x2+2pから
x²-x+2p≥0 ...... 2
2次方程式x2+x+2p=0, x2-x+2p=0 の判
別式をそれぞれ D, D2 とすると,2つの不等式