Question

ゆー

(2)の解説⑤に続いての別解と書いてあるところなのですが、1番最後に重解であるpとaが求まっているのですが、重解じゃない方の残りの1つの解はどのようにして分かるのですか？

イ 夏休み
(目標)前期の復習をして後が
(心)
16
§1 関数と方程式
[4] 実数 a, x,y,zが
x+y+z=a
22 + v2 + 22 = 02-2a+14.
x³ + y³ + z³ = a³ − 3a² + 3a + 18
コロ
を満たすとき、次の問いに答えよ.
(1) zy+yz + zおよび ryz を a の式で表せ.
(2) x,y,zのうち少なくとも2つが等しいとき, a, z, y, zを求めよ.
PROCED

[1-4]
[解]
x+y+ 7 = a
x² + y² +2²=a²¹²-2a + 14
x²³+²³² +2²³ = a ²³-3a²+ 3a + 18 -- (
(1) ay++,xyの値を求める。
である
и= x+y+? v=xY+xz+y?, w = xyz (Ick,
2²+ y² + z ² = (a+y+z) ² 2(xy + x² + y²)
=u²-2v
x² + y² +2²³ = (a+y+z) (a+z²+2²)
u=a
-12ゲッスーンズナリジナゴマン
(a+y+z)|xy+xzZ+YZ) - 3x4Z
であるから、①,②,③より
= u(u²2v) - (uv-3w)
u²³_3uv+3w
u²2v=a²2a+14
u² 3uv + 3w=a²³_-3a²+3a +18
:: U= a₁ v = a -7₁ w = -ba+b
である。
(2) 2,y,zのうち少くとも2つが等しいとき、a,x,yを求める。
x,y
を解にもつ3次方程式は、
(t-2) It-y)lt-z)=0
:: t²³_ut²tvt-w=0
- t²³ at ² + (a-7/t+bla-1) = 0
である。た-2が1解であることに着目して、解くと、
(+2)(a+2)+310-1)}=0
(+2)(3){t-10-1)}=0
a=-1のとき
a=4のとき
〃 t=-2,3,a-1
である。このうち少くとも2解が一致するときとその解きは、
④
組合せは -2,3,-2
の組合せは -2,3,3
注1 (1) [別解]
2,3}解にもつる次方程式を利用してSmンズナゲッジの
漸化式を作る。
ayを解にもつ3次方程式は、
(t-at-ylt-2)=0
t²-ut²+vt -w=0
である。[x,yが解であることから、
x²³²-²²+√x-w=0
y³-uy² + vy_w=0
2²2² + √²-1=0
であり、⑥x²+⑦x+×でより
が成り立つ。
を用いて、
ふ
A
Sne3-u Sm₂ + v Smey - WS₂ = 0
:: Sn+3 = u√n+2 - √ √n+₁+wfn --
である。
となる。
⇒注て [⑤に続いての別解]
$a = use-us,+wso]
$₁ = 3, S₁ = U₁ $2=4²22√²
fit=-at'+la-7)+b(a-1)=0が重解をもつ
=> ) + (P) = P²³_ap² + (a-7) p + 6 (a-1) = 0 ... Ⓒ
|'(p)=3p2zap+la-7)=0
-17
--6
=ulu²³2v)-vu+w. 3
u²³- 3uv + 3 w
である。⑩,①をapの連立方程式と見て解く。 ①1 よっ
(2p-1)a=3p2-7
25
であり、PC/1/2のとき、0.a=- - 2/2 をみたすのはなく、
392-7
P + ½, a=
2-1
である。⑩に代入してαを消去して、Pを求めると
(-p+p+b) at(p²-7P-6)=0
.: (-p²+p+b)
: (-P2+P+6) 13P2-7)+12P-1)(P3-7P-6)=0
Ⓡ
であり、⑩,②3より
3P2-7
2P-1
P4-2P3-11P2-12P+36=0
(P+ 2)² (P-3) ²= 0
+ (P²³-7P-6)=0
(p,a)=(-2,-1),(3,4)
:: P = -2, 3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

記述における⇔大事だよね!

x+y+z＝a に代入すると出ますね。

ゆー

たしかに！ありがとうございます！