Question

あんぱんまん

数学Ⅲ 4STEP 354
何故aをこのように場合分けするのかが分かりません。
私は画像3枚目のようなやり方(2枚目回答の[3])でやったのですが、感覚的にaがプラスだろうとマイナスとこの式は成立するような気がしてしまいます。

• 92 第6章 個
354 すべての正の数xに対して, 不等式√x>alogx が成り立つような定数α
の値の範囲を求めよ。

354 f(x)=√x-alog x (x>0) とおくと
√x - 2a
2x
1
2√√x
[1] a=0のとき, f(x)=√x>0 (x>0) である
(Sから、与えられた不等式は成り立つ。(I) 828
[2] a<0のとき, f'(x) >0であるから, f(x)
は単調に増加する。
f'(x) =
(8-
ところが, lim f(x)=-∞であるから条件に
=6のとき
x→+0
適さない｡
as
[3] a>0のとき, f'(x)=0 とするとx=4a²
よって, f(x) の増減表は次のようになる。
a
x+x
x 20
f'(x)
f(x)
-
4a²
0 +
極小
極小 (エ)モ

354 f(2)=√2-
flx) =
2
flou
f(x)
2√2
O
-
O
Jog x
ス
40²
0
4
Kalad
極ス
1- log 2 a 20
log za cl
oczach
(2-20
2X
2 =
f(40²) = 20 - 20 log 20.
ac f
2
20
on a c
90²
for fruce to you bye te zitique
2
20 (1-log 20)

数ⅲ 微分 4step 不等式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

たまご

いえ、成り立たないと思います。
まずf'(x)=0として増減表を書いていますが、あくまで極値を持つ関数の増減表を書いているにすぎません。極値を持たない関数もあります(例えばy=x^3とか)
ですからaの値によってf'(x)がどのように変化するかを考える必要があります。
その過程としてaが0より大きいか小さいか、はたまた0と等しいのかを場合分けしているのです

あんぱんまん

なるほど！つまりaの値によってそもそも関数が変わってきてしまうから場合分けが必要ということですね！
しっくり来ました。ありがとうございます！