Question

燈翠

数2です。

係数が虚数の二次方程式の問題です。解と係数との関係を使って解きたいのですが、上手く出来ませんでした…
どこが間違っているのか教えて欲しいです！

例題 30 係数に虚数を含む2次方程式の実数解
kを実数とする。xの2次方程式 (1+i)x+(k + 3i)x +6 +2ki = 0 が実
数解をもつときkの値、およびこの方程式の解を求めよ。
思考プロセ
係数に虚数を含む2次方程式では,「実数解をもつ⇔D≧0」としてはいけない。
例 2次方程式xix=0 は、x(x-i) = 0 より x = 0, i ← 実数解をもつ
ところが
D = (− i)² = −1 <0

(1+₂ )² + ((c+ 32x²₁² 6+2k2=0
解と係数の関係エリ、2解をd,pとすると
x+B=
2解
x6 =
a.e
つまり
k=3
£+32
It z
6+212
112
= (6+24²)(1-=)
2
6+262-62*2kzł
BFF Faz"
(k+32)(1-2)
(12)((-2)
2
(6 +2k) +(2k-6) ₂
2
2
x² + 3x +6=0
(3+k) + (k-3) Z O
x+ß = -3. ap=6
を解いて、
-3±19-416
X² 2
+3
k+ 32-k²-1-(2)
1+1
(k+ 3) +(3+) 2
2

52
実数解をα とおくと
7+ i = 0 の形になる。
11
0
(1+i)a²+(k-
Action》 虚数係数の方程式の実数解は, 複素数の相等を用いよ
解 この方程式の実数解をα とおくと
(1+i)α² + (k+3i)a+6+2ki = 0
(a²+ka+6) + (a² +3a+2k)i = 0
から
① - ② より
k, α は実数より, ' + ka +6, 2 +3a +2kも実数である
Ja²+ka+6=0
la² +3a+2k = 0
よって
(1)
2
= 0
(k-3)a+6-2k
(k-3)(α-2)=0
...
k = 3 または α = 2
よって
(ア)k=3のとき
① より+3 +6=0 となるが, この方程式は実数解
をもたないから、不適。
(イ) α =2のとき
① より 2k +10 = 0 となり k = -5
このとき, 与えられた方程式は
x = 2,
3-5i
1+i
(1+i)x² + (−5+3i)x+6−10i = 0
(x2-5x+6)+(x2+3x-10)i = 0
(x-2)(x-3)+(x-2)(x+5)i=0
(x-2){(x-3)+(x+5)i}
= 0
(x-2){(1+i)x-3+5i} = 0
3-5i
1+i
(3-5i)(1 - i)
1-i
☆与えられた方程式は係数
|に虚数を含むから,判別
「式は使えない。 x = α を
「方程式に代入する。
= -1-4i
ここで
(ア), (イ)より、求めるkの値は
|k=-5
このとき、与えられた方程式の解は x = 2, -1-4i
(k-3)a-2(k − 3) = 0
判別式をDとすると
D=32-4・1・6=-15<0
Ka
= 2 は実数解である。
この方程式はα = 2 を
解にもつから, 左辺は
x-2を因数にもつ｡ 次
の節で学習する因数定理
と組立除法を用いて因数
分解してもよい。
2 1+i -5+3i 6-10i
+)
2+2i -6+10i
0
1+i -3+5i
(左) =
(x − 2){(1+i)x−3+5i}
30kを実数とする。xの2次方程式 (1+2ix-(k+1+3i)x-ki+2i = 0 が実
数解をもつときkの値, およびこの方程式の解を求めよ。
→ p.75 問題30

数2 二次方程式 虚数 解と係数との関係