数学
高校生

f'(x)は必要条件から出たa=1より分子の二次関数は下に凸とわかるから必ず問題のx=5で極大値、x=7で極小値を取るのは自明だと思うのですが、何故十分性を確認する必要があるのですか?

304 基本例題 178 極値の条件から関数の係数決定 関数f(x)= ax2+bx+c x-6 定数 α, b,cの値を求めよ。 解答 定義域はx=6である。 f'(x)=- 練習 ② 178] (2ax+b)(x-6)-(ax²+bx+c) (x-6) ² ax²-12ax-(6b+c) (x-6) ² x=5で極大値3をとるから x=7で極小値7をとるから よって 指針f(x)がx=α で極値をとる⇒f'(α)=0 であるが, この逆は成り立たない。 よって,題意が成り立つための必要十分条件は (A) x=5で極大値3 →f(5)= 3, f'(5)=0 x=7で極小値7 → f(7)=7, f'(7) = 0 (B) x=5の前後でf'(x) が正から負に, x=7の前後でf'(x) が負から正に変わる。 を同時に満たすことである。 ここでは, 必要条件 (A) から, まずα, b,cの値を求め,逆に, これらの値をもとの関数に 代入し,増減表から題意の条件を満たす (十分条件) ことを確かめる。 ! はx=5で極大値3,x=7 で極小値7をとる。 f(5)=3, f'(5)=0 f(7)=7,f'(7)=0 -25a-56-c=3, -35a-6b-c=0, 49a+7b+c=7, -35a-6b-c=0 これを解いて a=1, b=-7, c=7 逆に, α=1,6=7,c=7のとき f(x)=x2-7x+7 x-6 f'(x)= f'(x)=0 とすると x=5, 7 関数 ① の増減表 は右のようになり, 条件を満たす。 よって [参考] (x-6)² 1 x2-12x+35_(x-5)(x-7) = x 5 f'(x) + 0 f(x) 7 極大 (x-6)2 ・)当然40)は同じ 値で出てくるから 式も同じ 6 ax²+bx+c 関数f(x)= x2+2 とき,定数a,b,cの値を求めよ。 : 7 0 + 極小 a=1,b=-7,c=7 lim f(x)=∞, lim_f(x)=-∞であり, y=f(x)のグラフの x→6+0 6-0 概形は右のようになる (詳しくは p.311以降で学習する)。 00000 はx=-2で極小値 1/12 2' このとき ◄ (#)' = - 基本177 定義域の確認。 YA u'v-uv 02 基 ■第2式と第4式は同じ式。 第1式~第3式を連立して 解く。 この確認を忘れずに! 指針 <f'(x) は, (*) に a=1, b=-7, c=7 を代入して 求めるとよい 。 3 6 A 57 -x=6 C `y=x-1 A 定 y x=1で極大値2をとる。 この [横浜市大)

回答

✨ ベストアンサー ✨

極値をとるならば、下に凸よりx=5で極大は自明です。しかし、今回の場合極値を取ることは確定していませんので、十分性の確認が必要となります。

シャイニ-

問題文から式は極値を取ることは確定していませんか?

きた

十分性の確認をする前に求めたものは、あくまでf'(x)=0であることとその時のf(x)の値です。
問題文より極値をとることは確定していますが、上の条件により求まるa=1で本当に極値を取るかどうかわからない状態ですから、十分性の確認が必要となります。

シャイニ-

なるほどありがとうございます!

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