Question

さこ

青チャの数IIの問題です。
未定係数を数値代入法によって求めるという問題です！

黄色の部分には『３つのxの値以外でこの恒等式が成り立つかわからない』ので【実際に代入して恒等式になるか確かめなさい】とかいてあるのに

別の記述方法として青い部分には『３つのxの値に対して等式が成り立った』から【これはxに対しての恒等式ですね】とかいてあるのが

少し変に感じます。。
たぶんピンクの部分がそうしていい理由だと思うのですが、この理由自体が何を言ってるのかよくわからないです。

どなたか分かりやすく教えてください！

値を定めよ
2通りの方
比較法
代入法
整理。
数の項の係数
る。これ
P=0
は
れはx
基本例題 16 未定係数の決定 (2) [数値代入法]
00000
次の等式がxについての恒等式となるように,定数a,b,cの値を定めよ。
ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x2+7x+21 [京都産大]
指針▷ 係数比較法でもできるが, 等式の形から、数値代入法 を利用する。
P.33 基本事項
恒等式はxにどんな値を代入しても成り立つから, a, b,cの値が求めやすいxの値を代
入する。
ただし,3つのxの値の代入でα, b,cの値は求められる(必要条件)が、この3つのxの
値以外でも成り立つかどうかは不明。よって、恒等式であることを確認する(十分条件)。
数値代入法を利用するときは,この点に注意すること。
【CHART 恒等式 1 展開して係数を比較
②2 適当な数値を代入
代入法では,逆の確認か、(次数+1) 個の値での成立を述べる
解答
この等式が恒等式ならば, x= -1, 0, 3 を代入しても成立。代入する数値は0となる項
x=-1を代入すると
46=20
が出るように選ぶ。 つまり、
x=0 を代入すると
3c=21
dx(x+1)=0,
x(x-3)=0,
12a=96
x=3
を代入すると
したがって
(x-3)(x+1)=0
b=5,c=7,a=8
となるxの値を代入する。
このとき
(左辺)=8x(x+1)+5x(x-3)-7(x-3)(x+1)+
逆の確認
=8(x2+x)+5(x2-3x)-7(x2-2x-3)
つまり, 恒等式であること
を確かめる。
=6x2+7x+21
①① S歌
ゆえに,与式は恒等式である。
8=15+6+D=
よって
a=8, b=5, c=7
検討 p.33 の基本事項 3 の定理の利用
「P, Q がxについてのn次以下の整式であるとき, 等式P=Q がn+1 個の異なる x の値
に対して成り立つならば,この等式はxについての恒等式である。」
から、3つのxの値に対して成り立つα, b,c ( ① のこと) が求める値であることを示してもよ
い。ただし、その場合, 定理が使える条件を以下のように, きちんと述べなければいけない (①
の後に述べる)。
「このとき,等式の両辺はxの2次以下の整式であり,① のa,b,cの値のとき,異なる3
個のxの値に対して等式が成り立つから,この等式はxについての恒等式である。
よって a=8, b=5, c=7]
の定め上
35
章 4恒等式
1章

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

塾講師 「たおたん先生」

簡単に言うと『「ピンクの部分」が成り立てば「青の部分」になるという定理があるから、その定理を使う解き方をするならば十分条件の確認はしなくて大丈夫だよ』って話です。

その定理は写真下部の検討の最初の2行「P.Qがxについての〜恒等式である」のところです。

例えば
ax+b=3x-3 を考えると
左辺は1次式(y=を付けると一次関数)
右辺も1次式(y=を付けると一次関数)
なので、x=0のとき左辺はb、右辺は-3
よってb=-3。
これはグラフでいうとb=-3なら
左辺の一次関数と右辺の一次関数は(0.-3)で交わるということです。
ただxの恒等式になるためには２つの一次関数が一致しないといけないので、２つの一次関数が(0.-3)で交わる(つまりb=-3の情報)だけでは不十分です。
２つの一次関数(直線)が完全に一致するためには直線なので、２つの一次関数が2交点を持てばオッケーなのx=0以外の別のもう1箇所で左辺=右辺を考えればオッケーです。
x=1のとき
左辺=a-3
右辺=3-3
よってa=3
これで先程の「(0.-3)で2直線が交わる(つまりb=-3)」の情報と「(1.0)で2直線が交わる(つまりa=3)」の情報の２つが揃えば、２つの一次関数は完全に一致します。
1次の時は2箇所で完全一致するわけです。

同様に考えると2次の時は3箇所、3次の時は4箇所、となります。

塾講師 「たおたん先生」

なので「例題の解き方ができるタイプ」と「検討のやり方ができるタイプ」に何か大きな違いがある訳ではありません。
どっちのやり方でもどうぞ的な感じです。

例題のやり方でも2次に対して3つ(a.b.c)の情報を考えられているので別に検討のやり方で回答を作っても大丈夫です。

「ピンクの断りを書くのが面倒な場合は、逆(十分)まで確認してね」→例題の解法

「逆(十分)の確認が面倒な場合は、ピンクの断りを書いてね」→検討の解法

さこ

なるほど！理解できたかもしれません！

二つのn次方程式が等式で結ばれた場合、それを満たす交点がn個だけでは『この等式を満たす関数が無数に存在してしまう』
だから、もう一つ追加で点を加えることで『初めて関数が一つに固定され』て等式は恒等式となる。

という解釈で合っているでしょうか？

塾講師 「たおたん先生」

その解釈であっています。

さこ

丁寧な解説をありがとうございます！
助かりました！