一
47 軌跡(V)
mを実数とする. ry平面上の2直線
x+my-2m-2=0
mz-y=0… ①,
について,次の問いに答えよ.
(1) ①,②はm の値にかかわらず,それぞれ定点A,Bを通る
A,Bの座標を求めよ.
(2) ①,②は直交することを示せ .
(3) ①,②の交点の軌跡を求めよ.
(1) 37 で勉強しました. 「mの値にかかわらず｣ とあるので
について整理」して, 恒等式です。
(2) 36 で勉強しました. ② が 「y=」の形にできません.
(3) ① ② の交点の座標を求めておいて, 45 の要領でやっていこうとするとか
なり大変です。したがって,(1), (2)をうまく利用することになりますが、
のIIIを忘れてはいけません.
解 答
(1) の値にかかわらず mx-y=0 が成りたつとき, x=y=0
.. A(0, 0)
②より(y-2)+(x-2)=0 だから
<mについて整理
B(2,2)
(2) m・1+(-1)・m=0 だから,
①,②は直交する.
36
(3) (1),(2)より ①② の交点をPとすると ①1 ②
より,∠APB=90°
よって、円周角と中心角の関係よりPは2点A,
Bを直径の両端とする円周上にある。この円の中
心は ABの中点で (1, 1)
また、AB=2√2より半径√2
A
よって, (x-1)^2+(y-1)^=2
ここで、①はy軸と一致することはなく, ②は直線y=2 と一致する
基礎問
y
2
0
77
ことはないので、 点 (0, 2) は含まれない.
CONBOG- 84
よって, 求める軌跡は
円 (x-1)^2+(y-1)^2=2 から,点 (0, 2) を除いたもの.
注 一般に,y=mztn 型直線は,軸と平行な直線は表せません.
それは,yの頭に文字がないので、リが必ず残って,r=kの形にでき
ないからです。 逆に,ェの頭には文字がついているので, m=0を
代入すれば,y=n という形にでき, 軸に平行な直線を表すことが
できます.
307 (0
45 の要領で ① ② の交点を求めてみると
参考
x=
2(1+m)
1+m²,y=
2m(1+m)
1+m²
となり,まともにmを消去しようとすると容易ではなく、除外点を見つける
こともタイヘンです. しかし、 誘導がなければ次のような解答ができます。
YA
x=0のとき、①より m=y I
②に代入して
24-2=0
I
I
1
D.
. x² + y²-2y-2x=0 .. (x-1)^2+(y-1)^=2
次に, x=0のとき、①より, y=0
これを②に代入すると, m=-1 となり実数mが存在するので,
点 (0, 0) は適する.
以上のことより, ① ② の交点の軌跡は円 (-1)²+(y-1)^²=2 から点
(02) を除いたもの.
ポイント
定点を通る2直線が直交しているとき, その交点は,
ある円周上にある. その際, 除外点に注意する
tを実数とする. ry平面上の2直線 1: t-y=t,
m:x+ty=2t+1 について, 次の問いに答えよ.
(1) t の値にかかわらず, l, m はそれぞれ, 定点A, B を通る.
A, B の座標を求めよ.
(2) l m の交点Pの軌跡を求めよ.
演習問題 47
第3章
(
