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(1) この問題は丁寧にやります.
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a(x+2)+b(x-2)=2x+8⇔(a+b-2)x+(2a-2b-8)=0
恒等式というのはxにどんな実数値が入っても等式が成り立つことです.
したがってa+b-2=0[0以外だと(a+b-2)xの値は様々とれてしまいます], 2a-2b-8=0
が同時に成り立つa, bを定めればいいことになります. これを解くとa=3, b=-1.
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都合のいいxからa, bを決めて[必要性], すべてのxで成り立っていることを確認する[十分性]方法もあります.
x=2のとき4a=12⇔a=3, x=-2のとき-4b=4⇔b=-1で, このとき3(x+2)-(x-2)=2x+8で確かに恒等式になっています.
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(2) x=1のとき, c=1, x=0のとき0=a-b+c, x=2のとき4=a+b+cです.
これからa=1, b=2, c=1であることが恒等式であるための必要条件です.
このとき1(x-1)^2+2(x-1)+1=x^2なので確かに恒等式になっています.
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(3) x=0のとき, d=0, x=-1のとき, (-1)^3=-c+d⇔c=1, x=-2のとき, (-2)^3=2b-2c+d⇔b=-3
x=1のとき, 1=6a+2b+c+d⇔a=1. 以上からa=1, b=-3, c=1, d=0であることが恒等式であるための必要条件です.
このとき1x(x+1)(x+2)-3x(x+1)+x=x^3なので十分性も確認されました.
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(3)のように適切な値を探して決めていくことが大事です. 演習を通じてモノにしてください.
ありがとうございます！