Question

ほのか

解答の、下線部を引いたところがなぜそうなるのか分かりません。(よって〜、の所です)
なぜ割り切れると言えるのですか？

= (2次式)(1次式)と因数分解できる。、
の解となるような実数の
複素数3-iが3次方程式 xー4r°+ ax +6 =0
定数a, bの値を求めよ。また, 残りの解を求めよ。
高次方程式の虚数解
例題 50
[本解)
3-iと3+iを解にもつ2次方程式
(2次式)= 0 に対して
条件の言い換え
共役な複素数
(x=3+iも解
(別解2]
残り1つの解をaとすると,
解と係数の関係より
(解の1つが)
(x=3-i
l(3-i)(3+i)α=
[別解1) 方程式にx=3-i を代入
APoint 参照
開係数がすべて実数であるから,3ーiと共役な複素数3+i
例題
31
も解である。
ここで,3-iと3+iを解にもつ2次方程式の1つは
例題
2数を解にもつ2次方程
式の1つは
x°-(和)x+(積) 30
x=3-i を解にもつ2次
方程式は x-3=-iの
両辺を2乗して
x°-6x+9= -1
x°-6x+10 =0
としてもよい。
すなわち
x°-6x+10 =0
よって, パー4x°+ ax +bはパ-6x+10で割り切れる。'、
右の計算より
x +2
x-6x+10) x°3-4x°+
x°-6x?+
商は x+2
ax + b
余りは
10x
(a+2)x+(b-20)
この余りは0となるから
a+2= 0, b-20 = 0
これを解くと
2x°+(a-10)x+ b
2x°-
12x+20
(a+2)x+(b-20)
「割り切れる」
(余り)= 0
a= -2, b= 20
このとき,方程式は
(x+2)(x°-6x+10) = 0
これを解くと
したがって,求める残りの解は
(別解 1)
Faine
3土i
x=-2, 3+i
3-iが解であるから, x=3-i を方程式に代入して
(3--4(3-+a(3-i)+6=0
27-27i+9°--36+24i-42 +3a-ai+b=0
(3a+6-14)+(-a-2)i= 0
例題
22
パ=-1, ポ=-i
考のプロセス

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

マドラー

3次方程式
ax³+bx²+cx+d=0
を因数分解すると
a(x-α)(x-β)(x-γ)=0 ･･･①
の形になります。ここで、α、β、γは複素数です

※ 混乱を避ける為に言うと、複素数には実数も含まれます。
つまり、複素数というのは、x+iyまたはiyまたはx (x,yは実数)の全体の事を言います。

今，a=1という情報とα=3-iと言う情報が与えられているので、①は
(x-3+i)(x-β)(x-γ)=0 ･･･①
となり、"共役な複素数も解になる"という考え方を使うと
β=3+i
と書けるので
(x-3+i)(x-3-i)(x-γ)=0 ･･･①
となります。したがって、この式の左辺を見やすくすると
(x-3+i)(x-3-i)×(x-γ)
つまり
x³+bx²+cx+d= (x-3+i)(x-3-i)×(x-γ)=0
となることより、下線分のことが成り立ちます。

わかりにくかったらすいません。

ほのか

理解出来ました！！ありがとうございます！