✨ ベストアンサー ✨
"1+Tₙ₋₁-Sₙ=1-1/(n⁵-n³)"は間違いです。
まず、Sₙ,Tₙ₋₁はそれぞれ、
Sₙ=1/1³+1/2³+⋯+1/n³
Tₙ₋₁=1/(1∙2∙3)+1/(2∙3∙4)+⋯+1/{(n-1)n(n+1)}
であって、
Sₙ=1/n³
Tₙ₋₁=1/{(n-1)n(n+1)}
ではありません。
(解答案)
aₖ=1/k³
bₖ=1/{k(k+1)(k+2)}
とおくと、
∑aₖ[k=1からk=nまでの和]=Sₙ
∑bₖ[k=1からk=n-1までの和]=Tₙ₋₁
である。
また、
bₖ₋₁-aₖ=1/(k⁵-k³)
k≧2のとき、k⁵-k³＞0なので、
bₖ₋₁-aₖ=1/(k⁵-k³)＞0
ここで、bₖ₋₁-aₖのk=2からk=nまでの和をとると、
∑(bₖ₋₁-aₖ)[k=2からk=nまでの和]
=∑bₖ₋₁-∑aₖ
=Tₙ₋₁-(Sₙ-1/1³)
※∑aₖ[k=2からk=nまでの和]=(Sₙから1/1³を引いたもの)
このとき、k=2からk=nまでのすべてで
bₖ₋₁-aₖ＞0
なので、正の数の和は正になるから、
∑(bₖ₋₁-aₖ)＞0
ここで、∑(bₖ₋₁-aₖ)=Tₙ₋₁-(Sₙ-1/1³)より、
Tₙ₋₁-(Sₙ-1)＞0
よって、
1+Tₙ₋₁-Sₙ＞0
すなわち、
Sₙ＜1+Tₙ₋₁
1/{(k-1)k(k+1)}-1/k³=1/(k⁵-k³)＞0
を用いてk=2,3,…,nとして辺々を加えていく方法が可能です。
分母を払うと、
k³-(k-1)k(k+1)=k＞0
となりますが、この辺々を加えていっても、
∑k³-∑(k-1)k(k+1)=∑k＞0
になってしまい、Sₙ-Tₙ₋₁になりません。
Sₙ=∑1/k³
=1/1³+1/2³+1/3³+⋯+1/n³
Tₙ₋₁=∑1/{k(k+1)(k+2)}
=1/(1∙2∙3)+1/(2∙3∙4)+⋯+1/(n-1)n(n+1)
なので、1/{(k-1)k(k+1)}-1/k³=1/(k⁵-k³)
の辺々の和をとる必要があります。
1/{(k-1)k(k+1)}-1/k³=1/(k⁵-k³)＞0
を用いてk=2,3,…,nとして辺々を加えていくと、
∑ⁿₖ₌₂(1/k³)-∑ⁿₖ₌₂{1/(k-1)k(k+1)}＞0
Tₙ₋₁-(Sₙ-1)＞0
1+Tₙ₋₁-Sₙ＞0
画像も添付しておきます。2枚目はまた別の方法の例です。
返信ありがとうございます。色んな方法を紹介してくださってありがとうございます！いつも助かります🙏
回答ありがとうございます！
SnとTnは級数でした…間違いを指摘していただいてありがとうございます。
k^3-(k-1)k(k+1)＝k＞0
を用いてk＝2.3.…nとして辺々を加えていく方法も可能ということでしょうか？