Question

魚見さん

「青枠の式の意味」と「赤枠の4m +1…+2…の部分がどうしてこの形になるのか」を教えてほしいです。

106 4無限級数·20分>
数列 {an}を次のように定める。
a1 = 5,
(a,?を11 で割った余り)
(1) 1より大きい自然数nのうち, an =5 となる最小のものを求めよ。
an+1
ニ
an
の値を求めよ。
27
n=1
く高知大〉

解答(1) (mod 11) の合同式で書くと
a1 = 5, a2 = 5° = 3,
a4 = 9° = 4, a5 = 4° = 5
よって,an =5となる最小の自然数n(> 1) は n =5
(2)(1)の結果から,数列 {an} は 5,3,9,4を周期4で
a3 =32 = 9,
繰り返す。
ak
とおくと
2k
k=1
Sn =
-Sn は第n部分和です。
4m
ak
|SAm
2k
k=1
M M
m
5
3
9
4
24i-3
24i-2
24i-1
24
へ
m
(5.4+3.2+9+2)
24i-1
=1
m
1
1-
37
16
74
8
11
15
11
16
(m→ oのとき)
5
Sam+1 = S4m+
24m+1
5
Sam +
3
Sam+2
ニ
24m+1
24m+2
3
5
Sam+3 = Sam+
24m+1
9
24m+2
24m+3
だから,m -→8のとき
74
74
Sam+1
Sam+2 →
15
15
74
Sam+3 →
15
II

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

りろん

(1)で周期が4と分かったので、それに注目して4つに分けています。
何かあれば連絡ください。

魚見さん

返信遅れてしまって大変申し訳ないです。

つまり、二段目の波線部では「第一項は周期4のうちの5の部分を…」って感じで対応させていってるってことでしょうか。なんとなくですが。

この式を自力で作れる気がしません。
なにに注意すればいいでしょうか…。

Answer 2

りろん

魚見さんは高校生のようですので、2次試験向きの返答をさせていただきます。
まず、この問題は2次試験の問題であり、2次試験の問題はいきなり解答を作ろうとせず、「この問題はどういうことが起こっているのか」を理解しようとするために実験から行います。
具体的には主に、「確率、整数、図形、漸化式」など、自分が今までやったことがない問題を見た時に行い、今までにやったことがある問題であれば、自分で解答の方針を立てた上で解答を作って良いと思います。
では今回は漸化式ですので、漸化式の考え方を記しておきます。
漸化式は「a2、a3、(a4)」までを出すようにしましょう。
そうすると、一般項を求めた際にその一般項のnに2や3を代入して検算をすることが出来るからです。
ここから先は添付されている紙を見てからお読みください。

この式を次から作れるようになるには、まず"周期があることを見逃さない"ことが大事です。
その次にシグマの問題であるならば、書き並べてみて周期のポイント(今回は4つで1周期)を意識して書き並べたものを見て考えることが大事です。
最後にシグマの問題であるならば、書き並べた際の1番最後の項が毎回違うなら場合分け(今回で言うとn＝4m、n＝4m+1、n＝4m+2、n＝4m+3)をすることを意識することが大事です。
説明が長くなってしまいすみません。
なにか質問があれば遠慮なく仰ってください。

魚見さん

わぁ…すごく丁寧に書いてくださってありがとうございます！

なるほど…まず実験をしてみるわけですね。

S(4m)〜(4m +3)を求める理由を教えてほしいです。

りろん

上記に記載している通り、書き並べた際の1番最後の項が4mから4m+3で全て違うので、部分和S(4m)、S(4m+1)、S(4m+2)、S(4m+3)が全て異なります。
目的は無限大の極限を考えるのですが、部分和をどこで止めるかによって無限大の極限の値が変わってくる問題もあるので、S(4m)からS(4m+3)の4パターンを考える必要があります。