Question

なたろー

この問題でa,b,cをそれぞれkを使って表すときにこのように記述しても良いのですか？

以下,
以式
t 例式 21
メーソ=2
b
のとき,次の等式が成り立つことを証明せよ。
a
x°+y°+z°_xy+ yz + zx
ab+bc+ca
2
ニ
ポイント 比例式の取り扱い 比の値をkとおく。

とを示す。
人
国 2+ar+10をェー3ェ+bで実際に割ると、
(a-26+18)xー66+10
サクシード数学Ⅱ
2x+6
立つこ
-a=
8
-3x+6) 2x°
解答編
9
+ ax
2x-6x?+26x
では。
ーの等
+10
6x?+(a-2b)x+10
+29t
xy+ yz+ zx
x?+y°+z?_a'k?+6?k?+c?k?
a?+6?+c?
(a?+6?+c)?
=k?
a'+b+c?
よって
-2
a-26+18=3, -66+10=-2
a=-11, b=2
余りは
となる。これが3r-2に等しいから
6x?-
ak-bk+bk.ck+ck.ak
18x+66
(a-2b+18)xー66+10
33
ab+ bc+ ca
ab+bc+ca
abk?+ bck?+cak?
ab+bc+ca
これを解いて
(ab+bc+ca)k?
■kのどのような値にカ
しても成り立つ
→kについての恒等式
=k?
に
18 等式(k+3ェ+(2k-1)y+7=0 が、よのどのような値に対して。
成り立つように,エ yの値を定めよ。
ab+ bc+ ca
x?+y+z?
a?+b?+c?
xy+ yz + zx
したがって
ab+bc+ca
、1
22/2(ab+ bc+ca)=abc, a+b+c=2のとき,a, b, cのうち少な
/くとも1つは2であることを示せ。
■x, y, zのうち少なく
とも1つはん
や
解 等式を表について整理すると
(エ+2)k+(3xーy+7)=0
これがよについての恒等式であるとき
エ+2y=0, 3r-y+7=0
解(a-2)(b-2)(c-2)
=(ab-2(a+ b) +4)(c-2)
(xーk)(yーk)(2 ーk)= 0
=abc-2ab-2(a+b)c+4(a+b) +4c-8
エ=ー2, y=1
■恒等式A=Bを証明
=abc-2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)-8
=abc-abc+4-2-8
これを解いて
る方法
[1] A かBの一方を変務
して、他方を導く。
[2] A, Bをそれぞれ変
形して,同じ式を導く。
[3] A-Bを変形して、,
0になることを示す。
19 次の等式を証明せよ。
+が+c+d-4abcd=(a'-b9?+(c?-d)*+2(ab-cd)?
ー 条件式
2(ab+ bc+ca) = abc,
ダ+bトc=2
を代入。
=0
よって
a-2=0 または b-2=0 または c-2=0
(右辺)=(a-2a6:+b9+(c*-2c'd3+d)
+2(a6-2abcd+c'd")
したがって, a, 6, cのうち少なくとも1つは2である。
Bの証明
>0を示すのが基本
次の不等式を証明せよ。また, 等号が成り立つのはどのようなと
きか。ただし, a>0, b>0とする。
(1) 4(a°+6)2(a+b)?
(3) x?-2xy+5y? + 2x+2y+220
23
-a+6+c+d'-4abcd=(左辺)
20/a+b+c=0のとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ。
ab(a+b)?+bqb+c)?+ca(c+a)?=0
(2) x+52
キ
解(1) 4(a°+)-(a+b?=4(a+6)(a?-ab+85-1
=(a+b)((a?-ab+bり-c-
=(a+b)(4a?-4ab+46?-(α'+2ab+5%)
=3(a+b)(a?-2ab+69=3(a+)(a-b)?
a+b>0, (a-b)?20
C=ー(a+b)
解 a+b+c=0から
よって(左辺)=ab(a+b)"+bl-(a+b)]{bー(a+b)}?
-cを消去
ー各因数の符号を調べ
=ab(a+b)?-a'b(a+b)-ab{a+6)
=ab(a+b)|(a+b)-a-b)
a>0, 6>0から
る。
3(a+b)(a-b)?NO
4(a°+6) -(a+b)20
4(a°+6)2(a+b)
等号が成り立つのは, a-b=0すなわちa=bのときである。
よって
=0=(右辺)
すなわち
a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b
ゆえに
別期 a+b+c=0から
よって(左辺)=ab(-c)f+bd-a)?+ca(-b)?
=abc?+a'bc+ab'c
=abc(a+b+d)=0=(右辺)
245r+7=+2(-() +7
- a+b+c=0
21 ニ==ニのとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ。
x+y+z_xy+ yz+ 2x
a+6+c- ab+ bc+ca
■比例式の取り扱い
比の値をkとおく。
-+)20かっ
>0
y2
(3/x?-2xy+5y+ 2x+2y+2
=x*+2(1- y)x+5y?+2y+2
={(x?+2(1- )x+(1-y}-(1-y)?+5y?+2y+2
={x+(1- y)?+4y?+4y+1
=(x-y+1)?+(2y+1)?z0
a
C
原-=-ニーkとおくと x=ak, y=bk, z=ck
1(xーy+1)?20かつ
(2y+1)?20
学川

2 めスれとンの
あって a1スを,んこれ、そうそんしあけ4
これを事求ててんる6と
ズルーメンレンプレとン
( 2 2とィ42a
えビ t zえとン

数学ⅱ 等式の証明 比例式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

それだとx=y=z=0のときa=b=c=0となって、分母が0になってしまいます。それだとまずいので、模範解答の方がいいです。